福建省仙游县第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

仙游二中2022-2023学年高二上学期期中考数学试卷

（考试时间：120分钟      总分：150分）

一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项符合题目要求.)

1、直线的倾斜角为(     )

A.          B.          C.          D.            

2、圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　 　)

A．内切       B．外切       C．相离        D．相交

3、已知等比数列中，，，则公比(     )

A.  -2 B.  2 C.  3 D.  3或-3

4、若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　 　)

A．R         B．(－∞，1)      C．(－∞，1]      D．[1，＋∞)

5、若两直线与互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B．3 C． D．

6、已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　 　)

A．π           B．4π          C．8π            D．9π

7、在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为(    )

   A.  88        B.－88         C. 110      D.   －55

8、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（     ）

A．4 B．5 C．          D．

二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9、直线的方向向量可以是（    ）

A.（3，-4）     B. （4，3）      C.       D. 

10、下列说法正确的是( 　　)

A.经过点（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条；

B.经过点（2，3）且与原点距离等于1的直线有两条；

C.过点(2,4)且与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切的直线只有一条；

D.过点(2,4)且与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切的圆只有一个.

11、已知是数列的前n项和，若，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．数列为等差数列

C． D．

12、甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A．                          B．

C．事件B与事件相互独立            D．，互斥

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分。)

13、从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为         .

14、圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线与圆C3：x2＋y2＝相切，则实数的值为________．

15、为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为         km．

16、已知两点A(－3,4)，B(3,2)和直线，则直线恒过定点_______,若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是_____________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．其中第17题10分，其它每题12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17、面对新冠病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、 ．求：

（1）他们都研制出疫苗的概率；  

（2）恰有一个机构研制出疫苗的概率；

（3）至少有一个机构研制出疫苗的概率．

18、已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且 是等比数列的前项.

（1）求，；

（2）设，求的前项和.

19、已知直线经过直线与的交点.

（1）若直线与直线平行，求直线的方程;

（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程.

20、在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8且圆心的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.

已知圆经过点，且______；

（1）求圆的方程；

（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.

21、已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．

（1）求直线l的方程；

（2）设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．

22、在平面直坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1（y＞0）．

（1）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求线段AB的中点的轨迹方程；

（2）如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标；

（3）如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A（2，0），将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值．

仙游二中2022-2023学年高二上学期期中考

数学参考答案

一.单选题：CDCB  ABDC  

二.多选题：9.BD    10.BC    11.ACD    12.ABD

三.填空题：

13.  0.3    14.     15.  4－1    16.（1，0） ，(－∞，－1]∪[1，＋∞)    

四.解答题：

17、（10分）解：设“甲机构在一定时期研制出疫苗”为事件A，“乙机构在一定时期研制出疫苗”为事件B，“丙机构在一定时期研制出疫苗”为事件C，

（1）他们都研制出疫苗的概率为

（2）设“恰有一个机构研制出疫苗”为事件M

则

（3）设“至少有一个机构研制出疫苗”为事件N

18、解：（1）设数列的公差为，

由题意，，①

又∵成等比数列，∴，

即，得，②

联立①②可得，          ∴ ，；

（2）∵，

∴

＝.

∴数列的前项和为.

19、解：由解得

所以与的交点坐标为，

（1）设的方程为

将点代入得，所以的方程为

（2）解一：

依题意得：     解得

的方程为即

解二：设

可得直线的横纵截距分别为，

解得

的方程为

20、解：（1）选条件①，

设圆的方程为，

依题意有，

解得，，，

所以圆的方程为，

即圆的标准方程为：.

选条件②，

设圆的方程为，

因为圆经过点，，且圆心在直线上

依题意有，

解得，，，

所以圆的方程为.

选条件③，

设圆的方程为，

由圆经过点，，故，

又因为圆截轴所得弦长为8，

故方程的两个实数根的差的绝对值为.

所以，即

解方程组，

得，，或，，，

由于圆心的坐标为整数，

故圆的方程为

（2）设圆心到直线的距离为，

则弦长，

当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，

设其方程为，即，

，解得，，

所以所求直线的方程为或.

21、（12分）解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．

又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．

∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即B(4,0)．

故直线l的方程是x＋4y－4＝0.

(2)由(1)，知A(－4,2)．

又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.

点A到直线l1的距离d＝＝，

|AD|＝ ＝4，

∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.

22、解：（1）设点B的坐标为（x0，y0），则y0＞0，设线段AB的中点为点M（x，y），

由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，①

因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，

代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化简得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0；

（2）设B（x0，y0），0＜y0≤1，三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B（0，1）；

（3）如图所示，易知点D（2，2），

结合图形可知，点C在右半圆D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上运动，

问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，

连接OD并延长交右半圆D于点C'，

当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，且|OC|max＝|OD|+1＝2+1