2022-2023学年新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”高一下学期期末考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆伊犁州“华-伊高中联盟校”高一下学期期末考试数学试题 一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】应用复数除法化简复数，写出对应坐标判断所在象限即可.【详解】，其对应点坐标为在第二象限.故选：B2．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.【详解】由题意知，，所以.故选：A.3．目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有120名感染者，其中有20名年轻人，60名老年人，40名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取30人进行检测，则做检测的老年人人数为（    ）A．5 B．15 C．10 D．20【答案】B【分析】根据分层抽样的性质运算求解即可.【详解】由题意可得：做检测的老年人人数为.故选：B.4．已知，是两条直线，是一个平面，下列关于直线与平面位置关系描述正确的是（    ）A．，，则 B．，，则C．， ，则 D．，，则【答案】C【分析】根据直线与平面的位置关系，作图找反例可排除选项.【详解】如图所示正方体中，  对于A项，假设分别对应，底面对应，符合A条件但两直线不平行，故A错误；对于B项，假设分别对应，底面对应，符合B条件，但两直线不垂直，故B错误；对于D项，假设分别对应，底面对应，符合D条件，但两直线不平行，故D错误；对于C项，如图所示，    设垂足为G，在平面内过G存在 ，则，所以.故选：C5．某校高三年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第70百分位数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为（    ）A．420 B．350 C．450 D．400【答案】C【分析】设表示学生数学成绩，根据百分位数定义知，进而求数学成绩不小于92分的人数最小值.【详解】若表示学生数学成绩，则的人数占比，故的人数占比，所以数学成绩不小于92分的人数至少为人.故选：C6．，那么（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.【详解】因为，所以.故选：D.7．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（    ）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】由正弦定理可得，结合已知求得或，注意验证是否满足构成三角形，进而求.【详解】由正弦定理知：，则，又，而，所以，故或，又，故均满足题设，当，则，此时；当，则，此时.故选：B8．如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（    ）A．B．若为线段的中点，则C．的最小值为D．的最大值比最小值大【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，因为，所以，设，则，则，，则，即，解得：或（舍去），则，，，A说法正确；若为线段的中点，则，所以，则，解得：，则，B说法正确；设，则，故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；，则，因为，则，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D说法正确.故选：C 二、多选题9．光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）  A．选取的这部分学生的总人数为500人B．合唱社团的人数占样本总量的C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125【答案】ABD【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10 所以选取的总人数为人，故选项A正确.合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确.则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的 所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确.选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.故选：ABD.10．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ）  A．的最小正周期为B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数的单调递增区间为D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象【答案】CD【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可.【详解】由图象可得，，，又，故，所以.显然A错误；对于B项，，不是对称轴，故B错误；对于C项，令，故C正确；对于D项，将函数的图象向右平移个单位得，故D正确.故选：CD.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（    ）  A．四棱锥为“阳马”B．四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为C．四棱锥体积最大值为D．四面体为“鳖臑”【答案】AD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，D的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意找到四面体的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱面，A：面，则，又，且，则面，∴四棱锥为“阳马”，对；C：在底面有，即，当且仅当时取等号，，错；D：由，即，又且，面，∴面，面,∴，则为直角三角形，由面，面，，则为直角三角形，由“堑堵”的定义得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对；B：由C知为直角三角形，侧棱面，易知,为直角三角形，而为直角三角形，则外接球球心位于的中点，则外接球半径，则球的表面积为，错.故选：AD．12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为【答案】AB【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点到平面的距离，结合线面夹角的定义运算求解.【详解】对于选项A：因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，且平面，可得，同理可得：，且，平面，所以直线平面，故A正确；对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对在选项C：由选项B可知：∥，所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.又因为，则为等边三角形，当为的中点时，直线与直线的夹角最大，可得，即直线与直线的夹角为；当与点或重合时，直线与直线的夹角最小，可得直线与直线的夹角为；所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2，因为，由等体积法可得，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误；故选：AB.【点睛】关键点睛：1.利用平行关系可知异面直线与所成角为直线与直线的夹角，进行分析求解；2.利用等体积法求点到平面的距离，可知直线与平面所成角的正弦值为. 三、填空题13．设是虚数单位，若复数满足，则           ．【答案】【分析】根据题意可得，进而结合模长公式运算求解.【详解】因为，则，所以.故答案为：.14．已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则           ．【答案】或【分析】根据等角定理判定即可.【详解】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所以或.故答案为：或.15．某校教师男女人数之比为5:4，该校所有教师进行1分钟限时投篮比赛．现记录了每个教师1分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为17，方差为16，女教师命中次数的平均数为8，方差为16，那么全体教师1分钟限时投篮次数的方差为           ．【答案】【分析】设男女人数分别为，求出全体教师平均命中次数，利用方差公式求全体教师1分钟限时投篮次数的方差.【详解】设男女人数分别为，则男女教师总命中次数分别为、，所以全体教师平均命中次数为，若男教师命中次数为，女教师命中次数为，所以，，全体教师1分钟限时投篮次数的方差为，则，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：用男女教师命中次数的方差表示出全体教师1分钟限时投篮次数的方差为关键.16．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值           ．    【答案】【分析】根据题设在应用余弦定理得，结合基本不等式求的范围，即可确定最大路程和，注意取值条件.【详解】如下图，中，所以，则，当且仅当时等号成立，满足题设要求，所以，故两机器人运动路程和的最大值.故答案为：   四、解答题17．设，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量与夹角的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解；（2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可.【详解】（1）因为∥，，则，解得，即，，可知，即，可得，所以.（2）由（1）可知：，，可得，，则，，可得，且，则，所以向量与夹角为.18．在中，A，B，C的对边分别为，若满足，．(1)若，求的大小；(2)若满足，求及的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用余弦定理运算求解即可；（2）先根据面积公式可得，在利用余弦定理可得，进而结合正弦定理运算求解.【详解】（1）若，由余弦定理，可得，即.（2）因为，可知角为锐角，则，又因为，即，解得，由余弦定理，即，由正弦定理，可得.19．如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.(1)求证：；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意可证平面，进而可得，结合证明平面，即可得结果；（2）可知二面角即为二面角，根据题意结合三垂线法可得二面角的平面角为，运算求解即可.【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，可得，由题意可知：，即，且，平面，所以平面，且平面，所以，又因为，则是正方形，可得，且，平面，所以平面，且平面，所以 .（2）连接，可知平面即为平面，则二面角即为二面角，取的中点，连接，因为，且为的中点，则，又因为平面ABC，平面ABC，可得，，平面，所以平面，且平面，则，所以二面角的平面角为，在中，，可得，所以二面角的正切值为.20．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值；(2)估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(3)若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？【答案】(1)0.005(2)84.5(3)87.5 【分析】（1）利用频率组距直方图各个小长方形的面积之和为进行计算；（2）根据直方图数据和平均数的计算公式进行计算求解；（3）根据题意，从高分往低分统计，计算出小长方形的面积之和为时即可.【详解】（1）由图可得,解得（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数．（3）设被嘉奖的学生的分数不低于，因为第四组的频率为，第三组的频率为，所以，所以，得．21．已知四棱锥，底面为正方形，且边长为2，，，，F、M、N分别为PD、AD、BC的中点，E点在FM直线上运动.(1)求证：∥平面；(2)当E为FM的中点时，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意先证平面∥平面PAB，结合面面平行的性质可得∥平面；（2）取PA的中点Q，连接，利用余弦定理可得，可得，利用线面垂直可证平面，可得，即可得结果.【详解】（1）连接MN，因为M、N分别是AD、BC的中点，则∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得∥，且平面，平面，所以∥平面， 又因为，平面，所以平面∥平面PAB，且平面，所以∥平面.（2）取PA的中点Q，连接，在中，可知，由余弦定理可得，因为E为的中点，可知E、D、Q三点共线，且在中，，所以，由（1）可知：∥，∥，且，可得，且，平面，所以平面，由平面，可得，且，平面，所以平面.22．在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；（2）利用条件将问题转化为，结合基本不等式求最值即可.【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 又，因为所以 所以，又，所以，且，所以，故.（2）由（1）得， 所以， 因为，所以 ， 当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，所以当时，的最小值为