2022-2023学年内蒙古通辽第五中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古通辽第五中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由可得，由可得，可选出答案.

【详解】由可得，由可得

所以“”是“”的充分不必要条件

故选：C

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接求解函数的定义域即可.

【详解】解：要使函数有意义，则，解得且，

所以，函数的定义域是

故选：B

4．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.

【详解】解：①当时，，此时满足条件；

②当时，中只有一个元素的话，，解得，

综上，的取值集合为，．

故选：D．

5．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．

【详解】解：命题”为假命题，命题“，”为真命题，

当时，成立，

当时，，故方程的△解得：，

故的取值范围是：

故选：．

6．已知的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由的定义域为，可得的定义域为，再根据可得答案.

【详解】由的定义域为，

得，所以，

所以，的定义域为，

令，得，即，

所以的定义域为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于抽象函数，若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.

7．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ）

A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）

【答案】D

【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.

【详解】画出的图象如图所示：

由图可知：，，

根据选项可知：当的定义域为，值域为时，

的可能值为，，，所以D错误.

故选：D.

8．若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可.

【分析】因为函数在R单调递增，且，

所以当时，，

不等式可化为，

所以，

当时，，

不等式可化为，

所以满足条件的不存在，

当时，，不满足关系，

所以满足的x的取值范围是，

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数能表示同一个函数的是（    ）

A．， B．与

C．， D．与

【答案】AD

【分析】根据定义域和解析式是否都相同来判断是否同一函数.

【详解】A. ，定义域和解析式都相同，是同一函数；

B. 的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

C. 的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

D. ，的定义域均为，解析式都相同，是同一函数.

故选：AD.

10．下列说法正确的有（    ）

A．不等式的解集是

B．“”是“”成立的充分条件

C．命题，则

D．“”是“"的必要条件

【答案】ABD

【分析】将分式不等式转化为求解，判断A;根据充分条件以及必要条件的概念可判断;根据全称命题的否定可判断C.

【详解】对于A，不等式即，

即，

则不等式的解集是，A正确；

对于B, 当时，一定有成立，

故“”是“”成立的充分条件，故B正确；

对于C，命题，则，故C错误；

对于D, 当时，不一定成立，当时，一定成立，

故“”是“"的必要条件，D正确，

故选：

11．已知实数，则下列结论一定正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用举实例判断A选项，利用不等式的基本性质判断B选项，利用作差法比较大小判断C，D选项．

【详解】解：因为，所以

选项A，当，，时，则，故A错误；

选项B，由于，所以，则，故B正确；

选项C，因为，所以，则，则，故C正确；

选项D，，，，，故D正确.

故选：BCD．

12．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．为奇函数

C．在区间上有最大值

D．的解集为

【答案】ABD

【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，

根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；

对于C选项，任取，，且，则，，

所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；

对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知集合或，，若，则实数的取值范围         ．

【答案】或

【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.

【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，

或

要使，只需或，解得或．

所以实数的取值范围或.

故答案为：或

14．已知函数，若，则      ．

【答案】3

【分析】运用换元法和代入法进行求解即可.

【详解】令，得，则．

因为，所以，解得．

故答案为：3

15．已知不等式的解是或， 不等式的解集为       .

【答案】或

【分析】由题意可得，2和3是方程的两个根，然后利用根与系数的关系表示出，代入中求解即可

【详解】因为不等式的解是或，

所以，2和3是方程的两个根，

所以，解得，

所以不等式可化为，

因为，所以，得，

解得或，

所以不等式的解集为或，

故答案为：或，

16．已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为        ．

【答案】

【分析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足：f（x）在(－∞，1)上单调递增，f（x）在(1，＋∞)上单调递增；又x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．

【详解】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：

第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；

第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；

第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．

故有解得．

故实数a的取值范围为．

故答案为：.

四、解答题

17．设集合， .

(1)当时，求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先求解集合，当时，得集合，直接求解交集即可；

（2）利用集合之间的关系确定，分类讨论当时，当时，分别满足，得的取值范围.

【详解】（1）解：由题意得.

当时，集合，

则.

（2）解：因为，所以.

①当时，则，解得；

②当时，则，解得.

综上，的取值范围为.

18．已知均为正数， 且.

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】利用基本不等式进行求解（1）（2）即可.

【详解】（1）因为

所以即

当且仅当时，等号成立，

故的最大值为；

（2）由题意得

则

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

19．设函数.

(1)若，解不等式；

(2)若，解关于x的不等式

【答案】(1)或；

(2)详见解析.

【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解；

（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.

【详解】（1）当时，由，解得或，

故当时，不等式的解集为或.

（2）由可得，

当时，方程的两根分别为，.

当时，，解原不等式可得；

当时，原不等式即为，该不等式的解集为；

当时，，解原不等式可得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.

20．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．

(1)求当x＞0时，函数的解析式；

(2)解不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；

（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.

【详解】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，

故，

故当x＞0时，．

（2）由，得，

故或．

如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，

故不等式的解集为．

21．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，求在区间上的最小值

【答案】(1) ,(2)

【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；

（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．

【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，

∴b＝1；

又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），

∴1+b+c＝13，∴c＝11；

∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．

（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|

＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|

＝（x﹣2）•|x|

，

画出函数图象，如图：

令，解得或（舍）

∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；

当时，g（x）min＝﹣1；

当时，．

∴综上，H（t）．

【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．

22．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称，且当时，.

(1)求的值；

(2)设函数.

(i)证明函数的图象关于点对称；

(ii)若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)(i)证明见解析；(ii).

【分析】(1)根据题意∵为奇函数，∴，令x＝1即可求出；

(2)(i)验证为奇函数即可；

(ii))求出在区间上的值域为A，记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分，，三种情况讨论即可.

【详解】（1）∵为奇函数，

∴，得，

则令，得.

（2）(i)，

∵为奇函数，∴为奇函数，

∴函数的图象关于点对称.

(ii)在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为，

由对，总，使得成立知，

①当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增，

只需即可，得，∴满足题意；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，

∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

∴或，

当时，，，

∴满足题意；

③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减，

只需即可，得，∴满足题意.

综上所述，的取值范围为.