2022-2023学年内蒙古通辽第五中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古通辽第五中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定，可得答案.

【详解】命题“”的否定是“”，

故选：A.

2．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.

【详解】椭圆的焦点在轴上，，

所以到椭圆两个焦点的距离之和为.

故选：C

3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由点在圆内，则点到圆心距离小于半径列不等式，即可求范围.

【详解】由题设，将点坐标代入圆方程的左侧有，可得.

故选：C

4．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】先画出可行区域，由几何意义求最值即可.

【详解】

画出可行区域如图，由得，则当直线经过点时，取最大值，.

故选：D.

5．已知平面内有两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】先利用两点间距离公式计算出，再写出直线的方程，利用点到线距离公式求解出点C到的距离即为的高，然后计算出的面积.

【详解】由，，可得，直线的方程为，

圆的标准方程为：，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离，

所以点到直线的最短距离，

故面积的最小值为．

故选：A．

6．命题p：椭圆的长轴长为8，命题q：方程（其中m是常数，）可以表示直线，下列命题是假命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的标准方程确定长轴长，令分别判断的真假，进而确定它们构成的复合命题的真假.

【详解】对于命题p，由椭圆得，则长轴长，故为真命题，

对于命题q，当时，方程为，即或，表示两条直线，故为真命题，

因为为真命题，则为真命题，故A错误；

因为为真命题，则为真命题，故B错误；

因为为真命题，则为真命题，故C错误；

因为为真命题，则为假命题，即为假命题，故D正确.

故选:D

7．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，由题意可知圆心在相交弦上，进一步求出的值

【详解】圆，化为，则圆心，

两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，

因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，

所以，解得或（舍去），

故选：A

8．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数a，再由充分、必要性的定义判断条件间的关系.

【详解】若已知直线相互垂直，则，可得或，

所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.

故选：B

9．设△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出点A关于直线x=0，y=x的对称点的坐标，由于它们都在直线BC上，再利用两点式方程求解即可．

【详解】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，

∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．

因为点A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，

点A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．

由两点式得

所求直线BC的方程：y=2x+5．

故选A．

【点睛】本题主要考查点关于直线对称点的坐标的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，属于基础题.

10．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（    ）

A．椭圆的离心率 B．椭圆离心率的平方

C．短轴长与长轴长的比 D．短轴长与长轴长比的平方

【答案】D

【分析】特殊化，将P取为椭圆短轴端点.

【详解】设椭圆方程为，为上顶点，则为原点.

，，则.

故选：D.

11．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】由题意可知，，整理得，

则，故，

因为，所以，所以，

即．

故选：C．

12．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．

【详解】解：由题意，如图，

若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，

即，因为，

解得：．

，即，而，

，即．

故选：D．

二、填空题

13．设，是椭圆的两个焦点，且焦距是4，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长是，则椭圆方程是__________.

【答案】

【分析】根据焦距的定义知，结合题意和椭圆的定义求出，进而求出b即可.

【详解】由题意知，，得，

由椭圆的定义知，，

而，的周长为，

所以，

得.由，解得.

所以椭圆方程为.

故答案为：.

14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】根据约束条件画出可行域，然后根据的含义，结合图形可得结果.

【详解】如图

由代表的是过原点的直线的斜率，

，则

所以当过点时，有最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查线非性规划的问题，主要正确理解的含义，属基础题.

15．已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是___________.

【答案】

【分析】设，结合中点公式和“点差法”求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】设，

因为点是的中点，可得，

由，两式相减得，

即，所以直线的方程为，即.

故答案为：.

16．已知直线：与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为______.

【答案】

【分析】求出直线经过的定点，再求出，数形结合求出直线的斜率的取值范围.

【详解】变形为，经过定点，

画出图形如图所示：

当直线经过点时，的斜率为，

当直线经过点时，的斜率为，

当直线与以，为端点的线段有公共点时，

直线的斜率的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的

（1）求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；

（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程．

【详解】解（1）直线的倾斜角为，

∴直线的倾斜角为，斜率为，

又直线过点，

∴直线的方程为，即；

（2）设直线的方程为，则点到直线的距离

，

解得或

∴直线的方程为或

18．已知，，其中m＞0．

(1)若m＝4且为真，求x的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出的取值范围；

（2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实数m的取值范围.

【详解】（1），解得：，故，

当时，，解得：，故，

因为为真，所以均为真，

所以与同时成立，

故与求交集得：，

故的取值范围时；

（2）因为，，解得：，

故，

因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，

即，但，

故或，

解得：，

故实数m的取值范围是

19．已知点，，，点在圆上运动．

(1)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；

(2)求的最值．

【答案】(1)或

(2)最大值为88，最小值为72

【分析】（1）设直线方程为，由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出的值，从而得出直线方程；

（2）点坐标为，则，利用两点间距离公式化简，又，从而得到的最值．

【详解】（1）解：依题意，直线的斜率存在，因为过点的直线被圆截得的弦长为，

所以圆心到直线的距离为，

设直线方程为，即，

所以，解得或，

所以直线方程为或；

（2）解：设点坐标为，则，

所以，

因为，所以，

即的最大值为88，最小值为72．

20．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线与圆C交于A，B两点．

①求k的取值范围；

②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.

【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；

（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；

（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.

【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，

又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.

（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，

所以，即k的取值范围是.

（ⅱ）设，由根与系数的关系：，

所以.

即直线OA,OB斜率之和为定值.

21．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数．

(1)求点的轨迹；

(2)点为轨迹与轴正半轴交点，过点的直线交轨迹于、两点，且弦的长为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)直线的方程为或

【分析】（1）由题意得，点到直线的距离，可得，化简即可得出答案；

（2）由（1）的轨迹，则，结合题意可设直线的方程为，联立直线与轨迹可得，求出，利用两点之间距离列出关于的方程，求解即可得出答案．

【详解】（1）解：由题意得，点到直线的距离，

则，整理得，

故点的轨迹；

（2）解：由（1）的轨迹，则，

弦的长为，故直线不垂直轴，即斜率存在，

设直线的方程为，

联立，整理得，解得或，

点的横坐标为，则点的纵坐标为，

，即，

，解得，

直线的方程为或．

22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为4．

(1)若P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；

(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k1，k2．

①求证：k1k2为定值；

②试问|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②是定值，8．

【分析】（1）先由条件求出椭圆的标准方程，再由椭圆的定义、余弦定理与面积公式求解

（2）设圆心坐标，由直线与圆的位置关系列方程，由韦达定理得出

联立直线与椭圆方程，得出坐标后，计算后由关系化简

【详解】（1）由题意可得，解得：a2＝6，b2＝2，c＝2，

所以椭圆C的方程为：1；

则可得由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝2，

|F1F2|＝2c＝2×2＝4，

由余弦定理可得cos∠F1PF2，

因为∠F1PF2＝60°，所以，

解得：|PF1||PF2|，

所以S|PF1||PF2|sin60°；

（2）①证明：直线OA，OB的方程为y＝k1x，y＝k2x，设椭圆C的“卫星椭圆”的圆心（x0，y0），

因为直线OA，OB是圆的切线，所以，

化简可得（2x02﹣3）k12﹣4k1x0y0+2y02﹣3＝0，（2x02﹣3）k22﹣4k2x0y0+2y02﹣3＝0，

所以k1，k2是（2x02﹣3）k2﹣4kx0y0+2y02﹣3＝0的两个根，

所以k1k2，

因为（x0，y0）在椭圆上，所以1，

所以k1k2，

可证得：k1k2为定值；

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

，

解得x12，x22，

所以|OA|2+|OB|2＝（1+k12）（1+k22），

因为k1k2，

所以k22，

所以|OA|2+|OB|28，

可证得|OA|2+|OB|2是定值，且为8．