内蒙古通辽市重点校2022-2023学年高一上学期期末检测数学试题

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命题人： 日期：2023． 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.
【详解】解：因为，所以．
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】要使得函数有意义，则，且，解得.
故选：C.
3. 如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.
【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．
故选：C.
4. 指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合指数函数性质列不等式求解即可
【详解】因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
5. 如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检验奇偶性可排除AD；判断时函数的取值范围可排除C，即可求解
【详解】由图象关于原点对称，可知该函数为奇函数，
且当时，函数最大值大于3，
对于A：，
该函数是偶函数，故排除A；
对于C：当时，，
所以，故排除C；
对于D：，故该函数不是奇函数，故排除D；
对于B：，
该函数是奇函数，
且，满足题意；
故选：B
6. 下列不等式中正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.
【详解】由，
当且仅当时取等号，故A正确，
，
当且仅当无解，故取不到最小值2，
故选项B错误；
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
当且仅当时取等号，故C不正确；
取时，不成立，故D不正确.
故选：A.
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，使得”
B. 若，则
C. 若函数上具有单调性，则
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】A. 利用含有一个量词的命题的否定的定义判断； B.根据指数函数、对数函数和幂函数的值域判断； C.利用二次函数的单调性判断； D.利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A. 命题“，使得”是存在量词命题，则其否定是全称量词命题即：“，都有”，故错误；
B.若，则，所以，故错误；
C.若函数在上具有单调性，则或，解得或，故错误；
D. 不等式解得或，所以 “”是“”的充分不必要条件，故正确
故选：D
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定函数在上单调递增，，计算，得到大小关系.
【详解】是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故函数在上单调递增，，
，，，
故，故.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，第小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列各式中，与数值相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】当为奇数时，，故A错；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
10. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合即可得解.
【详解】
如图，作出函数的图象，
观察交点可得交点在和区间上.
故选：BC.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在上是增函数
C. 是偶函数D. 的值域是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．
【详解】对于A，因为函数，，
所以，则函数为奇函数，故选项A正确；
对于B，因为、在R上是增函数，所以在R上是增函数，故选项B正确；
对于C，因为，则，
，因为所以函数不是偶函数，故选项C错误；
对于D，又，所以，故的值域为，故选项D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的综合应用，关键点是对函数性质的熟练掌握，以及对新定义的理解，考查了学生的推理能力与运算能力.
12. 已知函数，若x1A. x1＋x2＝－1B. x3x4＝1
C 1【答案】BCD
【解析】
【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项.
【详解】由函数解析式可得图象如下：
∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据得到，确定，计算，得到答案.
【详解】，故，故，
，故，，，
，故.
故答案为：
14. 若，则______．
【答案】##3.75
【解析】
【分析】由题设得，代入目标式化简求值即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：
15. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数的最大值为m，的最小值为n，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数的最大值和最小值，即可得解.
【详解】当时，，
所以此时，
当时，，
所以此时，
综上所述，，即，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合，．求，，．
【答案】，或，
【解析】
【分析】根据交集，并集和补集的定义计算即可.
【详解】因为，，，
所以，，或，
所以或，
18. 已知．
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，分别求和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
，
若角的终边过点，则，
所以.
【小问2详解】
若，
所以；
.
19. 已知函数，函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简后由对数函数的性质求解
（2）不等式恒成立，转化为最值问题求解
【小问1详解】
．
故的值域为．
【小问2详解】
∵不等式对任意实数恒成立，∴．
．
令，∵，∴．
设，，当时，取得最小值，即．
∴，即
故的取值范围为
20. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】（1），
（2）的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．
【解析】
【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，
则，
，．
【小问2详解】
解：由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时．
所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．
21. 已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）若对任意都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义由求解.
（2）设函数,利用反比例函数的性质求得其值域，再利用对数函数的性质求得的最大值，根据对任意都有成立，由求解
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，
所以，即，或，
当时，函数，无意义，舍去，
当时，函数，定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，
综上所述，.
（2）设函数，
因为函数，
所以函数在区间上单调递减，
所以，即，
因为对任意都有成立，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，对数型函数值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22. （1）已知，，求此函数的最大值．
（2）求函数的值域．（提示：）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角形函数的关系化简函数式，代入目标函数式，结合二次函数性质求最值即可；
（2）令并确定范围，结合与的关系得，代入函数结合二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）由，又，
所以，则，
由，则，故当时.
（2）令，
而，则，
所以等价于，
则在上递增，在上递减，，，，
综上，函数值域为.