2022-2023学年内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用复数运算法则化简即可.

【详解】由题可知.

故选：A.

2．设复数z满足，则在复平面内对应的点在第几象限（    ）

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】利用复数除法运算求得，进而判断其对应点所在象限.

【详解】由，故在复平面内对应的点为.

所以z在对应点在第四象限.

故选：D.

3．若向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量线性关系坐标运算求得，再由向量平行的坐标表示求参数即可.

【详解】由，又，

所以，可得.

故选：A

4．已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.

【详解】，

在上的投影向量为，

故选：C

5．在△ABC中，点D满足，点E满足，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由平面向量的线性运算法则求解．

【详解】如图1，

.

故选：C

6．红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为的半球；中间部分是底面半径是为、高为的圆柱；右边部分是底面半径为、高为的圆锥，若敦敦准备从中间部分的处将红薯切成两块，则两块红薯体积差的绝对值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由球和圆柱，圆锥的体积公式求解即可.

【详解】由题意可知，两块红薯体积差的绝对值为

.

故选：A.

7．如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，

所以，，

设和所成的角为，则，

因为，所以.

故选：B

8．在中，若，则角C等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦定理可得的值，即得答案．

【详解】在中，，可得，

由于，故 ，

故选：A．

二、多选题

9．已知复数（为虚数单位）则下列结论正确的是（    ）

A． B．的实部为1

C．的共辄复数是 D．在复平面内对应的点在第二象限

【答案】AB

【分析】利用复数的乘除运算可得，根据复数模的求法可判断A；根据复数的概念可判断B；由共轭复数的概念可判断C；由复数的几何意义可判断D.

【详解】，

；的实部为；的共辄复数为；

在复平面内的对应点为，位于第一象限.

故A、B正确，C、D不正确.

故选：AB.

10．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形

【答案】ABD

【分析】根据斜二测画法将三角形还原，得其形状和性质.

【详解】因为直观图中，，，

所以原如图，，，

所以，既是等腰三角形也是等边三角形，

面积为.

故选：ABD.

11．如图，在直三棱柱中，D，E，F，M，N分别是的中点，则下列判断错误的是（    ）

A．平面

B．平面

C．平面平面

D．平面平面

【答案】ABC

【分析】由线线平行证明线面平行，得平面，平面，所以平面平面，均与平面相交，所以均与平面相交，又MN与AC平行，AC与平面相交，所以MN与平面也相交，可判断各选项是否正确.

【详解】连接，如图所示，

则N为的中点，又E是的中点，所以，

由平面，平面，所以平面．

三棱柱中是平行四边形，D，E分别为的中点，则，，

可得，，所以四边形是平行四边形，所以，

又平面， 平面，则平面，

平面，，所以平面平面，所以D正确，

而均与平面相交，所以均与平面相交，A，B都不正确，

又MN与AC平行，AC与平面相交，所以MN与平面也相交，所以C不正确.

故选：ABC．

12．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【分析】根据向量平行与垂直的坐标表示、向量数量积和模长的坐标运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，与不平行，A错误；

对于B，，，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为      .

【答案】/

【分析】先化简得，即得复数和它的虚部.

【详解】由题得，

所以.

所以的虚部为.

故答案为：.

14．已知向量，，，若点，，三点共线，则实数         ．

【答案】/0.5

【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可.

【详解】，，

因为点，，三点共线，所以，解得.

故答案为：.

15．已知中，，，，则      ．

【答案】/

【分析】根据三角形内角和定理得到角B，然后利用正弦定理和三角形面积公式即可求解.

【详解】因为在中，，，所以，

由正弦定理可得，则，

所以，

故答案为：.

16．下列三个说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α；

③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行．

其中正确的有   ．

【答案】②

【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可求解．

【详解】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确；

对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确；

对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误．

故答案为：②．

四、解答题

17．已知复数.

(1)若z为实数，求m的值；

(2)若z为纯虚数，求m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）根据复数的类型列方程或不等式求参数m即可.

【详解】（1）若z为实数，则，即；

（2）若z为纯虚数，则，可得.

18．已知向量与的夹角，且，．

(1)求；

(2)与的夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；

（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.

【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，

则，

所以；

（2）由（1）知：，

所以，

所以与的夹角的余弦值为.

19．在中，角对应的边分别是，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得:

代入式子，

化简得，，

，

，即，

因为，所以.

（2），

由余弦定理得，

的周长为．

20．如图，三棱锥的底面的侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）证明平面，求得的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案.

【详解】（1）因为分别是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）因为是等边三角形，D是的中点，

所以，

因为，

又平面，

所以平面，

因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，

所以，，

所以.

21．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点.

(1)证明：∥底面；

(2)求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知的条件分析出EF//BD，利用线面平行判定定理即可证明；

（2）证明PM⊥底面ABCD，代入锥体体积公式即可求解棱锥的体积.

【详解】（1）连接BD，

在中，为的中点，为的中点，所以EF//BD，

又底面，底面，所以∥底面；

（2）取AB的中点M，连接PM，

因为，所以，且，

又平面底面，平面底面=AB，平面，

所以底面，所以，

即四棱锥的体积为.

22．已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求向量与的夹角.

【答案】(1)或.

(2)

【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；

（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.

【详解】（1）已知，

所以.

又因为，所以有，

所以，解得或.

（2）因为，所以.

又，所以，

解得，所以.

所以，

因为，所以.