广东省东莞市东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期开学数学试题

学生假期学习反馈与检测

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1.为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取名同学进行党史测试．已知该校高一学生人，高二学生人，高三学生人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（  ）

A．              B．               C．               D．

2.若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

3.如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ）

 A.  B.        C.        D.

4.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

5.如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6.某班名篮球队队员的身高（单位：）分别是： 则第百分位数是（    ）

A.  B.  C.             D.

7.中，，则的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是、的中点，平面PAC，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9.已知某随机试验的两个随机事件概率满足，事件“事件与事件恰有一个发生”，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则是互斥事件            B．若是互为独立事件，则不可能是互斥事件

C．                       D．

10.已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（    ）

A.    B.   C.    D.

11.某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法正确的是（    ）

A. 丁险种参保人数超过五成                   B. 岁以上参保人数超过总参保人数五成

C. 周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过元

12.如图，在等腰梯形中，，将沿着翻折，使得点到点，且下列结论正确的是(   )

A. 平面平面                       B. 二面角的大小为

C. 三棱锥的外接球的表面积为      

D. 点到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各名学生的身高情况为：男生样本平均数为，方差为，女生样本平均数，方差为，则总体样本方差是______.

14.在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是______．（仅需填写一个符合要求的数值）

15.某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率__________.

16.在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）现有名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，组成一个小组代表学校参加竞赛.

(1)求被选中的概率;

(2)求和至多有一个被选中的概率

18．(12分)如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．

(1) 若，过点画一个与棱平行平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；

(2) 若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．

19. （12分）现行国家标准中规定了大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼条，从中随机抽取了条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.

(1) 求的值，并估计这条鱼汞含量的样本平均数；

(2) 用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；

(3) 从这批鱼中顾客甲购买了条，顾客乙购买了条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.

20. （满分12分）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，.

(1) 已知，且

(i)当时，求的面积；

(ii)若，求.

(2) 已知，且，求的最大值.

21. （满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．

(1) 证明：平面平面；

(2) 点在棱上，当二面角的余弦值为时，求．

22.（满分12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．

(1) 太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？

(2) 若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？

参考答案

一、二、选择题

三、填空题

13.   14. 8（答案不唯一，满足或即可）  15.    16.

四、解答题

17. （1）解：用表示从人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，则对应的样本空间， 共有个样本点，         .............2分

记事件“被选中”，则，

共有个样本点，  .............4分，  所以被选中的概率.    .............5分

（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”

可得，共个样本点，所以.               .............8分

由对立事件的概率公式得.                            .............10分

18. 解：(1) 分别在，，上取，，，使，，

则，，此时，        .............3分

又，又，平面，

所以平面，平面，所以，

则交线围成的正方形如图所示．       .............5分

因为为矩形，所以，

又平面，平面，所以平面        ............6分

 因为长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，

所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又，

所以．             .......................................8分

(2)平面交棱于，因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以，

同理可得，所以四边形为平行四边形，      ..........................10分

平行四边形的周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，当三点共线时，最小为，

故四边形周长最小为．.........12分

19. 解：（1）由，解得.                  .............2分

则这条鱼汞含量的样本平均数为               .............4分

（2）样本中汞含量在内的频率为.           .............6分

则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.                      .............8分

（3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为.                        .............9分

则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，                          .............10分

顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.                                     .............11分

则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.            .............12分

20．解：（1）（i）设，在中，由余弦定理得，    ..........1分

解得，                                  ........................................2分

在中，，则底边上的高，    ..........3分

所以的面积.            ..........................4分

（ii）设，依题意，，    ......................5分

则，，即，而，所以.                            .......................................7分

（2）连接，中，，， 由余弦定理得，         .............8分

则，，设，在中，，

于是，            .......................................9分

在中，，由余弦定理得：，...........10分

则

，        ..........................11分

当且仅当，即时取等号，所以当时，，

所以AC的最大值是.                      .......................................12分

21.解：(1)连结，∵侧棱底面，平面，∴．..........1分

又∵底面是正方形，∴．.............2分

而且，平面．∴平面．

又平面，∴平面平面．.............4分

(2)过作交于，过作于，连接．

在平面中，，，

∴，因为底面，∴平面，..........................6分

又平面，∴，

又∵，，平面，

∴平面，又平面，∴，

∴为二面角的平面角．     .......................................9分

故，则．

设，则，，．

在中，，∴．

在中，，

∴．所以，当二面角的余弦值为时，．        .............12分

22.解：(1)根据题意，可得，，

由二面角定义可知，为圆平面与地平面的锐二面角，    .............2分

在半圆中， ，，

所以，

即圆平面与地平面所成的锐二面角为．      ..........................4分

(2)过作平面，与平面交，

所以为直线与地平面的夹角，         .......................................5分

过作直线，与直线交于，连接，，

因为平面，平面，所以，..........................7分

又因为，，且平面，

所以平面，所以是平面与平面所成角的平面角，

则，                  ...................................................9分

由点为下午太阳所在位置，，

所以，，

在直角三角形中，，

所以直线与地平面的夹角为，即此时阳光入射当地地平面的角度为．.............12分