广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．利用斜二测画法画出的直观图（如图），已知轴，过作轴于，若的面积为4，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则，则D．若，则
5．容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分位数是（ ）
A．5B．5.25C．5.5D．6
6．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A．2B．3C．D．
7．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则下面说法不正确的是（ ）
A．圆台的母线长是20B．圆台的表面积是
C．圆台的体积是D．圆台的高是
8．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．B．C．D．12
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则不可能是纯虚数
B．是关于的方程的一个根
C．
D．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11．的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，有两解
B．面积满足，则
C．，则边上的高为
D．若，则的值为
12．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．对于任意点，都有平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是
D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，若与垂直，则与的夹角____________．
14．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）：
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则的值为____________．
15．已知为的内角所对的边，其中的面积为，且，则线段的长为____________．
16．在正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角，，则该三棱台的外接球的体积____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设函数．
（1）当时，求的取值范围；
（2）若，且，求的值．
18．如图，四边形为长方形，平面，点分别为的中点，设平面平面．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积．
19．“无故障里程”是指汽车从出厂到首次出现故障时共行驶的里程，某市场研究机构从某品牌出现过故障的汽车中随机抽取了100辆，调查这些汽车的无故障里程（单位：百公里），将调查数据按照分成6组，得到下面的频率分布直方图．
（1）将频率分布直方图补充完整；
（2）求该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值；（每组数据以该组数据所在区间的中点值为代表）
（3）该品牌汽车的广告宣称：该品牌汽车无故障里程不低于100百公里的汽车至少占全部汽车的85%．请你根据样本数据判断：该广告内容是否属实？
20．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．
21．在中，其内角所对的边分别是，且满足
①； ②； ③
请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求角的大小；
（2）已知外接圆的半径为，如图所示，是的角平分线，且，求的面积．
22．如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．
（1）当为线段中点时，求证：平面平面；
（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．
珠海市斗门区第一中学2022级高二年级上学期开学考试
数学试题答案
单选题答案：ABCC BDDB；
多选题答案：9．AC；10．ACD；11．BCD；12．AB
填空题答案：13．； 14．30； 15．； 16．
6．【答案】D
【详解】由余弦定理得，又，所以，
又，故，故选：D
7．【答案】D
【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又，则，同理，
于是圆台的母线，高，
表面积
体积，．故选：D
8．【答案】B
【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
所以
故．所以的最大值为，故选：B．
10．【答案】ACD
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．
12．【答案】AB
【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），对于A，当点与重合时，由，得，有，而平面平面，因此平面，即平面，A正确；对于B，由平面平面，得，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，B正确；对于C，由平面平面，得，因为，显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，，C错误；
对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误．故选：AB
15．【答案】 【解析】由，解得，
因为，所以，
所以，
所以
，所以．
17．解：（1），
因为，所以，所以的取值范围为
（2）由，得，
，
又，
．
18．【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为点分别为的中点，所以且，
又因为四边形为长方形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）证明：由平面，
因为平面，且平面平面，所以．
（3）解：由平面，则点到平面的距离等于到平面的距离，
因为平面，所以为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为：．
19．【详解】（1）设第三组的小长方形的高为，则，得．频率分布直方图补充完整如下：
（2）该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值为：
．
（3）样本中无故障里程低于100百公里的频率约为：，
所以无故障里程不低于100百公里的频率约为，所以该广告内容不属实．
20．【详解】（1）由于，
所以这20人的年龄的中位数为：．众数为：
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．
21．【详解】（1）若选①，由已知式化简得，
所以．在中，，
所以，所以．因为，所以．
若选②，在中，，则已知式化为
，所以，即，所以，
因为，所以，所以，即．
若选③，由题设及正弦定理，得．
在中，，且．
所以，即．
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以．
（2）由（1）和题设知，外接圆的半径，
从而在中，由正弦定理得，
由于，
且，
所以，
所以．①
在中，由余弦定理得，即．②
联立①②，得，
解得，或（舍去），
所以．
22．【详解】（1）由题意，平面，
故平面，
平面，
为的中点，，且平面
平面，
又平面平面平面．
（2）由（1）得平面，所以直线与平面所成角即为，
故，解得．
作，连接如图．
则平面，又平面，故．
又平面，故平面，故为二面角的平面角，
又，故，
故，
即二面角的余弦值为．篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
高二
15
10
20