2023-2024学年广东省东莞市北师大石竹附属学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省东莞市北师大石竹附属学校高一（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−410}，则A∩B=( )
A. (−4,−2)B. (−2,4)C. (2,4)D. (−4,2)
2.命题p：∀x>0，x2−ax+1>0的否定是( )
A. ∀x>0，x2−ax+1>0B. ∀x≤0，x2−ax+1>0
C. ∃x>0，x2−ax+1≤0D. ∃x≤0，x2−ax+1≤0
3.设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是( )
A. AO=OCB. BO//DBC. AB与CD共线D. AO=BO
4.给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|，则a=b；
③若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC；
⑤若m=n，n=k，则m=k；
⑥a//b，b//c，则a//c．
其中不正确的命题的个数为( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5.已知正方形ABCD边长为 2，则AB+2AC+AD=．( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 6
6.函数f(x)= x+x+2lnx的定义域为( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)
7.已知tanα=3，则sin(π−α)+2cs(π+α)sin(π2+α)+cs(3π2+α)=( )
A. −12B. 14C. 54D. 12
8.如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM=2，则|MA+MB+2MC|的最大值是( )
A. 5
B. 8
C. 10
D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结果为零向量的是( )
A. AB−(BC+CA)B. AB−AC+BD−CD
C. OA−OD+ADD. NO+OP+MN−MP
10.下列关于函数y=sin(2x+π3)的说法正确的是( )
A. 在区间[−5π12,π12]上单调递减B. 最小正周期是π
C. 图象关于点(π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x=−5π12对称
11.已知f(x)是定义在R上的函数，且对于任意实数x恒有f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x2+2x.则( )
A. f(x)为奇函数
B. f(x)在x∈[2,4]上的解析式为f(x)=x2−6x+8
C. f(x)的值域为[0,1]
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)=(m2−3m−3)xm在区间(0,+∞)上是减函数，则m的值为______．
13.用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为弧度．
14.若函数y=1+tan(ωx−π6)在区间(−π,π)内恰有6个零点，则正整数ω等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|−2(1)若a=4，求(∁RA)∪(∁RB)．
(2)若B是A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16.(本小题13分)
已知0<α<π2，sinα=45
(1)求sin2α+sin2αcs2α+cs2α的值；
(2)求tan(α−5π4)的值．
17.(本小题17分)
已知定义在区间(−1,1)上的函数f(x)=x+ax2+1为奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式并判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性；
(2)解关于t的不等式f(t−1)+f(t)<0．
18.(本小题17分)
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−2
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)画出简图并根据图象写出y=f(x)的单调增区间．
(Ⅲ)若方程f(x)+k=3有2个实根，求k的取值范围．
19.(本小题17分)
若f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx+12的最小正周期为π(ω>0)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式2a[f(x+π12)+cs2x]2−2[f(x+π12)−cs2x]−5a≥0，在(π8,π4]上恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由x(x+3)>10，即x2+3x−10>0，得到x<−5或x>2，
所以B={x|x<−5或x>2}，
又A={x|−4故选：C．
根据条件得到B={x|x<−5或x>2}，再利用集合的运算即可求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得到结论．
【解答】
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得：
命题：∀x>0，x2−ax+1>0，其否定为∃x>0，x2−ax+1≤0．
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：如图所示，
点O是正方形ABCD的中心，则AO=OC，A正确；
BO=−12DB，则BO//DB，B正确；
又AB=−CD，所以AB与CD共线，C正确；
|AO|=|BO|，但AO≠BO，D错误．
故选：D．
根据题意画出图形，结合图形对选项中的命题，判断正误即可．
本题考查了平面向量相等于共线定理的应用问题，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同，不一定正确；
②若|a|=|b|，方向不同，故a=b不一定成立；
③若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，正确；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC，正确；
⑤若m=n，n=k，则m=k，正确；
⑥a//b，b//c，则a//c，取b=0时，a与c不一定共线．
其中不正确的命题的个数为3．
故选：B．
①利用向量相等即可判断出；
②若|a|=|b|，则a=b不一定成立；
③利用向量相等与平行四边形的定义即可得出；
④利用平行四边形的性质与向量相等即可得出；
⑤利用向量相等的定义即可判断出；
⑥a//b，b//c，则a//c，取b=0时，a与c不一定共线．
本题考查了向量相等的意义、向量共线定理，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的加法法则，注意解题方法的积累，属于基础题．
通过向量加法的平行四边形法则可知AB+AD=AC，进而可得结论．
【解答】
解：由向量加法的平行四边形法则可知：
AB+AD=AC，
∴|AB+2AC+AD|=3|AC|，
又∵正方形ABCD边长为 2，
∴|AC|=2，
∴3|AC|=6，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：因为f(x)= x+x+2lnx，
所以x≥0lnx≠0，解得x>0且x≠1，
所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)．
故选：D．
利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
7.【答案】B
【解析】解：sin(π−α)+2cs(π+α)sin(π2+α)+cs(3π2+α)=sinα−2csαcsα+sinα=tanα−21+tanα=3−21+3=14．
故选：B．
利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案．
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，MA+MB=(MO+OA)+(MO+OB)=2MO，
所以，|MA+MB+2MC|=|2MO+2(MO+OC)|=|4MO+2OC|≤4|MO|+2|OC|
=4×2+2×1=10，
当且仅当M、O、C共线且MO、OC同向时，等号成立，
因此，|MA+MB+2MC|的最大值为10．
故选：C．
连接AB，可知O为AB的中点，计算得出|MA+MB+2MC|=|4MO+2OC|，利用向量模的三角不等式可求得|MA+MB+2MC|的最大值．
本题主要考查两向量和的模的最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，AB−(BC+CA)=AB−BA=2AB，故选项A错误，
对于选项B，AB−AC+BD−CD=CB+BC=0，故选项B正确，
对于选项C，OA−OD+AD=DA+AD=0，故选项C正确，
对于选项D，NO+OP+MN−MP=NP+PN=0，故选项D正确，
故选：BCD．
利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：函数y=sin(2x+π3)，
当x∈[−5π12,π12] 时，2x+π3∈[−π2,π2]，函数单调递增，所以A错误；
因为T=2πω=2π2=π，故B正确；
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，则x=π12+kπ2,k∈Z，
所以函数y=sin(2x+π3)的对称轴方程为x=π12+kπ2,k∈Z，
令k=0及−1，得x=π12、x=−5π12，
故y=sin(2x+π3)的图象关于直线x=−5π12及x=π12对称，故C错、D对．
故选：BD．
根据三角函数的性质依次求解判断即可．
本题考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，x∈[−2,0]上，x+2∈[0,2]，有f(x+2)=−(x+2)2+2(x+2)=−x2−2x，
又由f(x+2)=−f(x)，则f(x)=−f(x+2)=x2+2x，
故在区间[−2,2]上，f(x)关于原点对称，
又由f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，
故f(x)的图象关于原点对称，
由此分析选项：
对于A，f(x)的图象关于原点对称，f(x)为奇函数，A正确；
对于B，x∈[2,4]，则x−4∈[−2,0]，则f(x−4)=(x−4)2+2(x−4)=x2−6x+8，
函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(x)=f(x−4)=x2−6x+8，B正确；
对于C，在区间[−2,0]上，f(x)=x2+2x，有−1≤f(x)≤0，故f(x)的值域一定不是[0,1]，C错误；
对于D，f(x+2)=−f(x)，则f(x+2)+f(x)=0，则有f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×505+f(2021)+f(2022)=f(1)+f(2)=1，D正确；
故选：ABD．
根据题意，分析可得区间[−2,0]上，f(x)的解析式，再分析函数f(x)的周期性，可得f(x)的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的周期性，涉及函数的解析式，属于基础题．
12.【答案】−1
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m−3)xm在区间(0,+∞)上是减函数，
∴m2−3m−3=1m<0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
利用幂函数的定义和性质列出方程组，能求出m的值．
本题考查实数值的求法，考查幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，弧长公式以及二次函数的性质，属于基础题．
设扇形的半径为rm，则扇形的弧长为(4−2r)m，利用扇形的面积公式可求S扇形=1−(r−1)2，进而利用二次函数的性质以及弧长公式即可求解．
【解答】
解：设扇形的半径为r (m)，则扇形的弧长为(4−2r)m，
利用扇形的面积公式可得S扇形=12×r×(4−2r)=2r−r2=1−(r−1)2，
利用二次函数的性质可知当r=1m时，扇形的面积取最大值1m2，
此时，其圆心角α=4−2×11=2．
故答案为：2．
14.【答案】3
【解析】解：令y=0，则tan(ωx−π6)=−1，
∴ωx−π6=−π4+kπ(k∈Z)，
∵ω正整数，∴ω=12kπ−π12ω(k∈Z)，则：
当ω=1时，f(x)在区间(−π,π)内有2个零点，不符合条件；
当ω=2时，f(x)在区间(−π,π)内有4个零点，不符合条件；
当ω=3时，f(x)在区间(−π,π)内有6个零点，符合条件．
因此ω=3，
故答案为：3．
根据条件可得ω=12kπ−π12ω(k∈Z)，然后根据ω为正整数，分别取1，2，3等计算f(x)的零点个数即可．
本题考查了函数零点的判断和三角函数的图象与性质，属中档题．
15.【答案】解：(1)由a=4，得B={x|4≤x≤10}=[4,10]，
则∁RB=(−∞,4)∪(10,+∞)，
又A={x|−2则∁RA=(−∞,−2]∪[7,+∞)，
所以(∁RA)∪(∁RB)=(−∞,4)∪[7，+∞)；
(2)由B是A的充分不必要条件，
得B⊆A，
当B=⌀时，a>3a−2，解得a<1，
当B≠⌀时，a≤3a−2a>−23a−2<7，解得1≤a<3，
综上所述a<3，
即a的取值范围为(−∞,3)．
【解析】(1)根据集合间的运算直接计算；
(2)根据充分必要性可得B⊆A，分情况列不等式，解不等式即可．
本题考查充分不必要条件的应用，考查集合的运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵0∴sin2α+sin2αcs2α+cs2α=sin2α+2sinαcsαcs2α+2cs2α−1=(45)2+2×45×353×(35)2−1=20；
(2)由(1)可知：tanα=sinαcsα=43．
∴tan⁡(α−5π4)=tan⁡(α−π4)=tana−tanπ41+tana·tanπ4=43−11+43×1=17．
【解析】(1)利用平方关系和倍角公式即可得出；
(2)利用商数关系和两角差的正切公式即可得出．
熟练掌握平方关系和倍角公式、商数关系和两角差的正切公式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵f(x)是在区间(−1,1)上的奇函数，
∴f(0)=a=0，则f(x)=x1+x2…(2分)
设−1则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，
∵−10,(1+x12)(1+x22)>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在区间(−1,1)上是增函数…(6分)
(2)∵f(t−1)+f(t)<0，且f(x)为奇函数，
∴f(t)<−f(t−1)=f(1−t)
又∵函数f(x)在区间(−1,1)上是增函数，
∴t<1−t−1故关于t的不等式的解集为{t|0【解析】(1)根据奇函数满足f(0)=0求出a，代入f(x)后利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明f(x)在区间(−1,1)上的单调性；
(2)利用奇函数的性质转化不等式f(t−1)+f(t)<0，根据函数的单调性和定义域列出不等式组，求出t的范围即可．
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论证明单调性，注意函数的定义域，以及转化思想，化简、变形能力．
18.【答案】解：( I)∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=2x−2
当x=0，时f(0)=0，
当x<0时，−x>0，
∴f(x)=−f(−x)=−2−x+2，
∴f(x)=2x−2,x>00x=0−(12)x+2,x<0．
( II)画出简图：
由图象知y=f(x)的单调增区间为(−∞,0)，(0,+∞)．
(III)若f(x)+k=3有2个实根，
则等价为f(x)=3−k有2个实根，
即f(x)与y=3−k，有两个交点，
则由图象知−1<3−k<1且3−k≠0，
∴2【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可；
(Ⅱ)作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可；
(Ⅲ)利用函数与方程的关系，转化为函数f(x)与y=3−k的交点问题进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的奇偶性求出函数的解析式，利用数形结合以及转化思想是解决本题的关键．
19.【答案】(1)解：因为f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx+12
= 32sin2ωx−1+cs2ωx2+12
= 32sin2ωx−12cs2ωx=sin(2ωx−π6)′
即f(x)=sin(2ωx−π6)，
因为T=2π2ω=π，所以ω=1，
所以f(x)=sin(2x−π6)；
(2)解：由(1)可知f(x+π12)=sin[2(x+π12)−π6]=sin2x，
不等式2a[f(x+π12)+cs2x]2−2[f(x+π12)−cs2x]−5a≥0可化为
2a(1+2sin2xcs2x)−2(sin2x−cs2x)−5a≥0，
令t=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，因为x∈(π8,π4]，所以2x−π4∈(0,π4]，所以sin(2x−π4)∈(0, 22],
所以t∈(0,1]，则2sin2xcs2x=1−t2．
所以不等式2a[f(x+π12)+cs2x]2−2[f(x+π12)−cs2x]−5a≥0在x∈(π8,π4]上恒成立，
可化为2a(2−t2)−2t−5a≥0在t∈(0,1]上恒成立，
即a≤−2t2t2+1在t∈(0,1]上恒成立，
令y=−2t2t2+1,t∈(0,1]，则y=−2t2t2+1=−2⋅11t+2t≥−2⋅12 1t×(2t)=− 22，
当且仅当t= 22时等号成立，所以a≤− 22，即a∈(−∞, 22].
【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据周期公式求出ω，即可得解；
(2)依题意可得2a(1+2sin2xcs2x)−2(sin2x−cs2x)−5a≥0，令t=sin2x−cs2x，t∈(0,1]，则2sin2xcs2x=1−t2，依题意可得2a(2−t2)−2t−5a≥0在t∈(0,1]上恒成立，参变分离，再利用基本不等式计算可得．
本题考查不等式的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于难题．