广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题+Word版含答案

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学试题

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等

相关信息填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．命题“”的否定是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．若椭圆的右焦点为F，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长为（    ）

A． B． C．6  D．8

3．不等式的解集是（    ）

A．    B．    C．或   D．或

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．在中，已知，，，则（    ）

A．    B． C． D．

6．在等差数列中，为前项和，，则

A． B． C． D．

7．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（    ）．

A．92米 B．83米

C．74米 D．65米

8．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分．

9．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．在中，“”是“”的充要条件

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

10．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是等差数列 B．数列的前n项和

C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列

12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（    ）

A．                       B．为等腰直角三角形

C．直线的斜率为             D．线段的长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，

13．抛物线的准线方程为__________________. 

14．都成立.则的取值范围是__________．

15．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________．

16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为______.

四、解答题：本题共6小题，共70 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．( 本小题满分10分）

已知命题实数满足，其中；命题方程表示双曲线.

（1）当时，若命题为真，且命题为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18．( 本小题满分12分）

在①②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题．

在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，

已知_______.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）

（1）求角的大小；

（2）已知，，点在边上，且为的平分线，求的面积．

19．( 本小题满分12分）已知抛物线的焦点上一点到焦点的距离为.

（1）求的方程；

（2）过作直线，交于两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.

20．( 本小题满分12分）年月日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经年规划，年建设，总长约公里，总投资约亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会。据市场调查，当每张门票售价定为元时，销售量可达到万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为元时，旅游公司获得的总利润为万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）.

（1）求出每张门票所获利润关于售价的函数关系式，并写出定义域；

（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.

21．( 本小题满分12分）设数列的前n项和为，且满足，，数列满足，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：；

22．( 本小题满分12分）已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.

东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试

高二数学试题答案

一、单选题     CBCB   AADB

二、多选题    AD   BC   ABD   ACD

三、填空题   13.   14．   15.    16．

四、解答题

17．由，得，...........1分

因为，所以，即命题: ................2分

由方程表示双曲线，可得：解得，即命题：.....3分

（1）若，则命题： ，

因为命题和均为真命题，所以，所以，

所以符合题意的的取值范围为：................5分     （注：先将代入求解的给相应分数）

（2）由是的必要不充分条件，则有：但，

所以，即.........7分

所以，解得........8分

经检验和满足条件........9分        所以实数的取值范围是........10分

18．解：（1）若选①：，    则，...........2分

化简得，...........3分        ..........5分      ∴．.......6分

若选②：，则由正弦定理得，........1分

即，...........2分     ∵，.............3分

.........4分    ∴，...........5分         则．............6分

若选③：，则有，......2分

化简得，.......3分         .............4分

所以，............5分                          故．.............6分

（2）∵，.......8分

且，......10分    ∴．.......12分

19．（1）抛物线: 的准线方程为....1分

由抛物线的定义可知   解得……………3分    ∴的方程为.………4分

（2）法一：由（1）得抛物线C的方程为，焦点

设两点的坐标分别为，    则…………....6分

两式相减。整理得........8分

∵线段中点的纵坐标为      ∴直线的斜率……………10分

直线的方程为即……………12分

法二：由（1）得抛物线的方程为，焦点     设直线的方程为......5分

由        消去，得...............7分

设两点的坐标分别为，

∵线段中点的纵坐标为     ∴

解得…………10分        直线的方程为即……………12分

20．解：（1）每张门票售价定为元时，销售量为＝5(万张)，...1分

令每张门票的浮动价格元        则每张门票供货价格为(元)，..............2分

故旅游公司所获总利润为(万元).   ∴比例系数...........3分

∴........................5分（不写定义域扣一分）

（2）由（1）知 ∴...8分

∵       ∴...............9分

当且仅当（元）时取得“=”号.....................10分

∴，       ...............................11分

因此，每张门票售价定为140元时，所获利润最大，且每张门票最大利润为100元．.12分

21．（1）时，，解得，...............1分

时，，    整理得，.........2分

是首项为1，公比为的对比数列，    ，...........3分

∵，                                ∴，

则，，，……，（，3，…）.将这个等式相加，..................................................4分

得，.....5分

又∵，∴；......................................6分

（2）证明：∵.....................................................7分

∴.①

而∴②

①－②得...........9分

..........11分    ∴；....12分

22．（1）由中垂线的性质得，  ，........1分

所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，........2分

设曲线的方程为，则，，

因此，曲线的方程为:；........................3分

（2）由题意知直线的斜率不为，故可设的方程为，

联立方程得，...............4分

设、，则由根与系数关系有，.......5分

所以，.....6分

同理，.........7分         与的距离为，........8分

所以，四边形的面积为，...............9分

令，则，得，...............10分

由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，

所以，函数在上为减函数，.................11分

当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.....12分

（注：能说出对勾函数或者基本不等式不能取等号，最后得到答案都可以给相应步骤分数）