广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

东华高级中学 东华松山湖高级中学

2023-2024学年第一学期高一年级10月联考

数学试题

考生注意：本卷共四大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）

1.命题“”的否定为（    ）

A.    B.

C.    D.

2.若，且，下列不等式中一定成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知全集，集合，如图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.下列函数中与函数是同一个函数的是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.不等式的解集为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.如图所示的4个图像中，与事件一､二､三最吻合的顺序为（    ）

事件一：我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；

事件二：我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；

事件三：我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.

A.③①②    B.③④②    C.②①③    D.②④③

7.已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A.4    B.-4    C.    D.

8.定义在上的函数满足：对，且时，恒成立，且，则满足不等式的的解集是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题各有四个选择支，有多个选择支正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）

9.已知，则下列函数的最小值为2的有（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知集合，则实数的值可以是（    ）

A.    B.2    C.    D.0

11.下列四个选项中，是的充要条件的有（    ）

A.：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等

B.：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例

C.

D.：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分

12.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则关于函数有（    ）

A.

B.

C.，都有

D.函数的图象是两条直线

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上）

13.函数的定义域为__________.

14.已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是__________.

15.已知，若，则实数__________.

16.已知圆和矩形的周长相等，面积分别为，则的最小值为__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知集合，集合.求：

（1）；

（2）；

18.（本小题满分12分）

已知函数，且.

（1）求；

（2）若，求实数的值.

19.（本小题满分12分）

讨论函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义证明.

20.（本小题满分12分）

已如函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）当时，解关于的不等式.

21.（本小题满分12分）

杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会､2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，赛事名称和标志保持不变.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，设.

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

22.（本小题满分12分）

设函数，其中.

（1）若，求函数在区间上的值域；

（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.

数学试题答案

高一数学参考答案

一､选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.每题只有一项是符合题目要求）

二、填空题（每小题5分，满分20分.）

13.    14.    15.4或    16.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.解：由已知得：，

，从而有：

（1）；

（2）；

或.

18.解：：（1），由于，故，解得

故，

所以

（2）当时，，解得，舍去；

当时，，解得或-1，

其中不符合题意，舍去；

综上所述，.

19.解：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

以下根据函数单调性的定义证明：

①设，

则

，

，即，

在内是减函数.

②设

由①知

，

即，

在内是增函数.

20.（1）的解集为，

或或

（2），当时，

当，即时，恒成立

当，即时，，解得或；

当，即时，，解得或

综上：时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为或；

时，不等式的解集为或.

21.解：（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

则直角三角形的高为，

又海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，

，

，

故海报面积为；

（2），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

直角三角形的高为，

海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长

故

，

当且仅当，即时等号成立，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少.

22.解：（1）当时，则.

由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；

当时，的最大值为10；

所以在区间值域的为.

（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上，”.

若，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

①当，即时，

由，得，

从而，

②当，即，由，得，

从而，

综上，的取值范围为区间.

（联立得满分）

（3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，

所以“对任意的，都有.”等价于“”

①当.时，.

由，得.

从而；

②当.

由，得.

从而；

③当时，.

由，得，

从而；

④当时，.

由，得.

从而.

综上，的取值范围为.