数学3.1.1 一元一次方程学案设计

数学活动

——构建一元一次方程模型解决实际问题

一、新课导入

1.活动导入：

本节课通过以下两个数学活动，学会关注实际生活中隐含的数学问题，并经历建立一元一次方程模型解决问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识.

2.三维目标：

（1）知识与技能

确定等量关系，构建一元一次方程模型解决实际问题.

（2）过程与方法

经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，提高分析问题和解决问题的能力.

（3）情感态度

通过动手实验与动脑分析相结合发现规律，增强创新精神和应用数学的意识.

3.活动重、难点：

分析问题中的数量关系建立一元一次方程模型.

4.活动材料：

一根质地均匀的木杆，一段细绳，一些质量相等的砝码、刻度尺.

二、活动过程

活动1探究增长率问题

1.活动指导：

（1）活动内容：教材第109页活动1.

（2）活动时间：6分钟.

（3）活动方法：弄清楚资料中相关数据的含义，思考如何建立出一元一次方程.

（4）活动参考提纲：

①去年相较于前年的人均收入增长率是如何计算得来的？其数学表达式是：增长率=(去年人均收入-前年人均收入)÷前年人均收入，变形为：去年人均收入=前年人均收入×（1+增长率）

②设山水市前年人均收入为x元，依据上面①中关系式和已知条件可列出方程：x(1+8%)=11664.

③由已知条件可知去年价格上涨率为1.5%，那么，如何设未知数列出方程求得去年售价为1000元的商品在前年的售价是多少呢？

设去年售价为1000的商品在前年的售价是x元.

则x·（1+1.5%）=1000.解得x≈985.22.

④解方程求得原问题答案.

2.自学：同学们可结合自学指导自主学习.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，关注学生是否弄清相关数据的含义，尤其是增长率的表达式.

②差异指导：对学习有困难的学生，教师要结合生活实际从他们熟悉的事例中启发诱导他们弄清楚相关数据之间的关系，进而设未知数列出方程.

（2）生助生：小组内相互交流研讨，互帮互学.

4.强化：

（1）小组选派代表展示活动成果.

（2）教师强调：增长率=变化量/原有量×100%，变化量=现有量－原有量.

活动2探究杠杆平衡问题

1.活动指导：

（1）活动内容：教材第109页活动2.

（2）活动时间：10分钟.

（3）活动方法：按要求动手实验，动脑思考，总结规律.

（4）活动参考提纲：

 ①按要求动手实验，测量并记录下相关数据：

②分析上表记录下的实验数据，你能发现什么规律？

支点左端悬挂重物数×平衡时左端重物到支点的距离=支点右端悬挂重物数×平衡时右端重物到支点的距离.

③按照你所发现的规律，列出本活动中最后面问题中的一元一次方程，并求出它的解.

2.自学：同学们可结合自学指导，小组内相互合作，交流解决相关问题.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：教师巡视课堂，了解学生实验时是否态度端正、严谨，能否从实验数据中发现蕴藏的规律.

②差异指导：根据学情有针对性地进行指导、点拨.

（2）生助生：小组内相互合作、交流、探讨，共同解决问题.

4.强化：

(1)杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂.

（2）如何解字母系数的方程.

三、评价

1.学生的自我评价：反思活动过程，自评活动中的表现，自查问题，总结取得的收获.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：根据活动表现，学习态度和完成情况对学生进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

本课时为数学活动课，教学时以学生自学为主，教师引导为辅，让学生真正参与到活动中并能有所收获.对于活动一，部分学生在对两个增长率的认识上有一定困难，可通过同学间的交流研讨或教师提醒予以帮助.活动二如果放在物理学中，很容易解决，但对七年级的学生来说，杠杆平衡问题涉及的一元一次方程模型还是有一定难度，两个活动的核心都体现在了模型建立上，所以在教学过程中引导学生不要以解决问题为目的，要以从活动中建立数学模型并掌握建立模型的思考方法为目的，这样活动课才有意义.

一、基础巩固

1.（20分）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（C)

A.26元  B.27元  C.28元  D.29元

2.（20分）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定大幅度降低药品价格，某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（B)

A.a元    B. a元C.40%·a元D.60%·a元

3.（20分）某学校在对口援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？

解：设初中计划赠书x册，则高中部计划赠书（3000-x）册.

由题意列出方程：x(1+20%)+(3000-x)(1+30%)=3780

解得x=1200 ，3000-x=1800(册).

答：初中部原计划赠书1200册，高中部原计划赠书1800册.

二、综合应用

4.（20分）用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形.

（1）若长方形的宽是长的23，此时长方形的面积是多少？

（2）若长方形的宽比长少4 cm，此时长方形面积是多少？

（3）若围成的是一个正方形，此时正方形面积是多少？

（4）比较（1）、（2）、（3）中的面积关系，你能归纳出什么规律？

解：（1）设长为x cm，则宽为23x cm.

由题意（x+x）×2=60.

解得x=18, x=12.

长方形的面积为18×12=216（cm2）.

（2）设长为y cm，则宽为（y-4） cm.

由题意（y+y-4）×2=60.

解得y=17,y-4=13.

长方形的面积为17×13=221（cm2）.

（3）设正方形边长为z cm.

由题意4z=60.解得z=15.

正方形的面积为15×15=225（cm2）.

（4）周长一定时，长方形的长与宽相差越小，面积越大，当长与宽相等即为正方形时，面积最大.

三、拓展延伸

5.（20分）“丰收1号”油菜籽平均每公顷产量为2400 kg，含油率为40%，“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”平均每公顷产量提高了300 kg，含油率提高了10个百分点，某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少3公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高3750 kg，这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？

解：设这个村今年种植油菜的面积是x hm2，去年种植油菜的面积是（x+3） hm2，则去年种植“丰收1号”油菜的产油量为2400×40%×（x+3）.今年种植“丰收2号”油菜的产油量为（2400+300）×（40%+10%）x.

根据题意得2400×40%×（x+3）=(2400+300)×(40%+10%)x-3750.

化简得960（x+3）=2700×0.5x-3750.

去括号得960x+2880=1350x-3750.移项、合并同类项，得-390x=-6630.系数化为1，得x=17.

x+3=17+3=20.

答：这个村去年种植油菜的面积是20 hm2，今年种植油菜的面积是17 hm2.