2024四川省仁寿一中校南校区高三上学期开学考试数学（文）试题含答案

仁寿一中南校区高2021级高三第一次调研考试

文科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.

4．考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、设全集，集合，集合，则（   ）

A．            B．            C．             D．

【答案】C

2、已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

3、为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有8人，则第三组中有疗效的人数为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．18

【答案】B

4、下列命题中，是真命题且是全称命题的是（   ）

A．对任意实数a，b，都有       B．梯形的对角线不相等

C．                                 D．所有的集合都有子集

【答案】D

5、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

6、已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（   ）

A．      B．          C．         D．

【答案】C

7、《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（       ）

A．12 B．23 C．24 D．28

【答案】D

8、O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】C

9、已知正方体中，E为的中点，则直线与CE所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

10、如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

11、已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

12、已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ）

A．是以4为周期的周期函数                 B．

C．函数有3个零点            D．当时，

【答案】B

【详解】因为，且为偶函数，

所以

，

故的周期为4，故A正确．

由的周期为4，则，，

所以，故B错误；

令，可得，

作函数和的图像如下图所示，

由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；

当时，，则，故D正确．

故选：B．

第Ⅱ卷

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13、已知函数．则的值为_______

【答案】5

14、已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为________

【答案】

14、已知，则________

【答案】

16、定义一种运算（为常数），且则使函数最大值为的值是_______

【答案】-2或4_

【解析】

因为在上的最大值为4，

所以，解得或，

所以要使函数的最大值为4，根据定义可知，

当时，即当时，，解得，

当时，即当时，，解得，

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17、在中，角，，的对边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）若，求的面积．

【解析】(1)由及正弦定理得．因为，所以．

所以．整理得．即．

(2)由（1）可知，则，所以，

由正弦定理，得，所以，

所以的面积为．

18、某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：

(1)某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.

(2)若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.

附：

【解析】（1）要使，可知空气质量指数（AQI）.

根据题意，空气质量指数（AQI）的天数为20天，

所调取的数据为100天，所以概率为.

（2）补充的列联表为

.

可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.

19、如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.

(1)求证：直线平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】（1）连接，

因为是中点，且，，则，

又因为，则，可知四点共面，

由，，可得，，

则四边形是平行四边形，故，

且平面，平面，所以平面.

（2）因为底面，底面，则，

且，，平面，所以平面，

由（1）可知：，则平面，且平面，

所以平面平面，

过点作于点，连，

平面平面，平面，所以平面，

所以为与平面所成角，

因为，则，可得，

所以直线与平面所成角的正弦值.

20、已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

【解析】(1)由题意，，又，解得．所以椭圆C为.

(2)  设，若直线l的斜率存在，设l为，联立，

消去y得：，，则，又，

故且，即，则，又，

所以，

整理得，则且恒成立．

，

又，且，故.

当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则．

综上，的取值范围为．

21、已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)存在且，使成立，求的取值范围．.

【解析】（1）由题意得，令得，

时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减；

综上，单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题意存在且，不妨设，

由（1）知时，单调递减．

等价于，

即，

即存在且，使成立．

令，则在上存在减区间．

即在上有解集，即在上有解，

即，；

令，，，

时，，在上单调递增，

时，，在单调递减，

∴，∴．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22、在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上

（1）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；

（2）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值

【解析】（Ⅰ）因为点，所以；

由得于是的直角坐标方程为；

的参数方程为：  （t为参数）    

（Ⅱ）由： ，将的参数方程代入得：

，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，

，                     

；

所以．

[选修4—5：不等式选讲]

23、已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，等价于，

解得；

当时，等价于，恒成立，

解得；

当时，等价于，

解得；

综上所述，不等式的解集为.

（2）不等式的解集包含，

等价于在区间上恒成立，

也等价于在区间恒成立.

则只需满足：且即可.

即，

解得.