四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
二、选择题
2．若甲、乙、丙三人排队,则甲不排在第一位的概率为( )
A.B.C.D.
三、选择题
3．在等差数列中,,则的值是( )
A.36B.48C.72D.24
四、选择题
4．已知圆,圆,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离B.相交C.内切D.外切
五、选择题
5．若点P是抛物线上一点,且点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍,则的中点到y轴距离等于( )
A.1B.C.2D.3
六、选择题
6．已知直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A.B.C. D.
七、选择题
7．设等差数列的前n项和为,满足,,则( )
A.B.的最大值为
C.D.满足的最大自然数n的值为23
八、选择题
8．已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
九、多项选择题
9．对于直线.以下说法正确的有( )
A.的充要条件是
B.当时,
C.直线一定经过点
D.点到直线的距离的最大值为5
一十、填空题
10．下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
一十一、多项选择题
11．设A,B为两个随机事件,以下命题正确的为( )
A.若A,B是互斥事件,,,则
B.若A,B是对立事件,则
C.若A,B是独立事件,,,则
D.若,,且,则A,B是独立事件
一十二、多项选择题
12．在棱长为a的正方体中,则( )
A.平面
B.直线平面所成角为45°
C.三棱锥的体积是正方体体积的
D.点到平面的距离为
一十三、填空题
13．已知等比数列中,,,则_____________
一十四、填空题
14．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是_____________
一十五、填空题
15．直线与圆相交于A,B两点,且,则实数k的值等于____________．
一十六、填空题
16．已知,是椭圆的左,右焦点,E上两点A,B满足,,则E的离心率为____________．
一十七、解答题
17．已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80．为助力疫情防控,现采用按比例分配分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（1）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
（2）设抽出的6名教师志愿者分别记为A,B,C,D,E,F,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
①写出本次实验的样本空间;
②设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件M发生的概率．
一十八、解答题
18．已知圆C的圆心坐标,直线被圆C截得弦长为．
（1）求圆C的方程;
（2）从圆C外一点向圆引切线,求切线方程．
一十九、解答题
19．在数列中,,．
（1）求出,,猜想的通项公式;并用数学归纳法证明你的猜想．
（2）令,为数列的前n项和,求．
二十、解答题
20．已知椭圆的离心率为,左顶点坐标为．
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,设点,问：直线BM,BN的斜率之和是否为定值？若是,请求出该值;否则,请说明理由．
二十一、解答题
21．如图,在四棱锥中,平面,底面为梯形,其中,,,点M在棱上,点N为中点.
（1）记平面平面,判断直线l和直线的位置关系,并证明;
（2）若二面角的大小为,M是靠近P的三等分点,求与平面所成角的正弦值.
二十二、解答题
22．已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线C交于点P,且．
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦,,设弦,的中点分别为P,Q,求的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：将直线一般式方程化为斜截式方程得：,
所以直线的斜率为,
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C.
2．答案：D
解析：甲、乙、丙三人排队的可能顺序有甲、乙、丙,甲、丙、乙,乙、甲、丙,乙、丙、甲,丙、甲、乙,丙、乙、甲共6种情况,
其中甲不排在第一位的有4种情况,则甲不排在第一位的概率为.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题设,,则,
所以.
故选：A.
4．答案：D
解析：圆心距,
所以两圆外切.
故选：D.
5．答案：B
解析：抛物线的准线方程为,,
由抛物线的定义,得点到焦点F的距离等于点P到准线的距离,
则,解得.
所以的中点的横坐标为,所以的中点到y轴距离等于.
故选：B.
6．答案：B
解析：由 ，得 ，
如图，
当直线 与 相切时，.
若直线 与曲线 有两个公共点，
则实数m 的取值范围是.
故选：B.
7．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,
由,
可得,
整理可得,由
所,即,故A错误;
根据,则数列递减数列,,即,
则前11项或前12项的和最大,故B错误;C正确;
所以,即,解得,
满足的最大自然数n的值为22,故D错误;
故选：C.
8．答案：D
解析：双曲线的渐近线为,令,可得,
不妨令,,
所以,所以,,
即,所以,
所以;
故选：D.
9．答案：BD
解析：当时,解得或,
当时,两直线为,,符合题意;
当时,两直线,,符合题意,故A错误;
当时,两直线为,,,
所以,故B正确;
直线即直线,故直线过定点,C错误;
因为直线过定点,当直线与点和的连线垂直时,到直线的距离最大,最大值为,
故D正确,
故选：BD.
10．答案：AD
解析：对A,若,则,正确
对B,若,则,错误;
对C,,则,错误;
对D,若,则,正确.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：对于A：若A,B是互斥事件,,,则,故A错误;
对于B：若A,B是对立事件,则,故B正确;
对于C：若A,B是独立事件,,,则A,也是独立事件,则,故C正确;
对于D：若,,则且,则,B是独立事件,故A,B也是独立事件,故D正确;
故选：BCD
12．答案：AC
解析：正方体中,以A为坐标原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则有,,,,,,,.
,,,,,
得,,由,平面,,平面,A选项正确;
,,设平面的一个法向量,
则有,令,得,,则,
,所以直线平面所成角不是45°,B选项错误;
为边长为的等边三角形,,
点A到平面的距离,
三棱锥的体积,而棱长为a的正方体的体积为,
所以三棱锥的体积是正方体体积的,C选项正确;
,,设平面的一个法向量,
则有,令,得,,则,
,点到平面的距离为,故D选项错误.
故选：AC.
13．答案：16
解析：,,,
,
故答案为：16.
14．答案：
解析：向量,,
则,,,
所以向量在向量上的投影向量为
,
故答案为：．
15．答案：
解析：由题知,圆的圆心为,半径为1,
因为,所以圆心到直线的距离,
因为直线,所以,
解得,
故答案为：.
16．答案：
解析：如图,
因为,所以可设,,
又,所以,
由椭圆定义,,即,
又,即B点为短轴端点,
所以在中,
,
又在中,,
解得或（舍去）.
故答案为：.
17．答案：（1）分别抽取3人,2人,1人;
（2）①见解析;②.
解析：（1）由已知,甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师,
因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人,2人,1人;
（2）①从抽出的6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种．
②由①,不妨设抽出的6名教师中,来自甲学校的是A,B,C,来自乙学校的是D,E,来自丙学校的是F,则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为,,,,共4种．
所以,事件M发生的概率．
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆心C到直线l的距离为,
所以,圆C的半径为,
因此,圆C的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时,则切线的方程为,且直线与圆C相切,合乎题意;
当切线的斜率存在时,设切线方程为,即,
由题意可得,解得,此时,切线的方程为.
综上所述,所求切线的方程为或.
19．答案：（1）,,,证明见解析
（2）
解析：（1）,,
,
因此可猜想:;
当时,,等式成立,
假设时,等式成立,即,
则当时,,
即当时,等式也成立,
综上所述,对任意自然数,.
（2）,
①
②
由①-②得：
20．答案：（1）
（2）为定值,定值为-2
解析：（1）由题意得
又,所以
所以,
所以椭圆．
（2）当直线l斜率存在时,设直线,（其中）,,,
联立,消y可得,
则,解得或,
,
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时,直线,则M,N关于x轴对称,所以,
所以,
综上可得（定值）
21．答案：（1）,证明见解析;
（2）
解析：（1）,证明如下：
因为,平面,平面,
所以平面.
因为平面,平面,平面平面.
所以.
（2）在梯形中,由条件可得,
平面平面,平面平面,平面,
所以平面,所以二面角的平面角为,
所以,因为平面,所以,由,
得点N到平面的距离,
过M作于点H,则,所以,
于是且,所以四边形是平行四边形.于是
又,所以,
所以与平面所成角正弦值为.
22．答案：（1）
（2）8
解析：（1）依题意,设．
由抛物线的定义得,解得：,
因为在抛物线上,
所以,所以,解得：．
故抛物线C的方程为．
（2）由题意可知,直线的斜率存在,且不为0．
设直线的方程为,,．
联立,整理得：,
则,从而．
因为是弦的中点,所以,
同理可得．
则
,
当且仅当且,即时等号成立,
故的最小值为8．