2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）开学数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 6x+ 2y−1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
3.在等差数列{an}中，a3+a11=24，则a6+a7+a8的值是( )
A. 36B. 48C. 72D. 24
4.已知圆C1：(x+1)2+(y−3)2=4，圆C2：(x−2)2+(y+1)2=9，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切
5.若点P是抛物线y2=8x上一点，且点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则PF的中点到y轴距离等于( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
6.已知直线l：y=x+m与曲线x= 4−y2有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A. [−2,2 2)B. (−2 2,−2]C. [2,2 2)D. (−2 2,2]
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1>0，S9=S14，则( )
A. d>0B. Sn的最大值为S23
C. a12=0D. 满足Sn>0的最大自然数n的值为23
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a、b均为正数)的两条渐近线与直线x=−1围成的三角形的面积为 3，则双曲线的离心率为( )
A. 6B. 3C. 2 3D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l1：ax+2y+3a=0，l2：3x+(a−1)y+3−a=0.以下说法正确的有( )
A. l1//l2的充要条件是a=3B. 当a=25时，l1⊥l2
C. 直线l1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为5
10.下列结论正确的是( )
A. 若y=lnx，则y′=1xB. 若y=csx，则y′=sinx
C. 若y=ex，则y′=xex−1D. 若y= x，则y′=12 x
11.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则P(AB−)=19
D. 若P(A−)=13，P(B−)=14，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
12.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则( )
A. AB1⊥平面BCD1
B. 直线AB1平面B1CD1所成角为45°
C. 三棱锥A−B1CD1的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1体积的13
D. 点C1到平面AB1D1的距离为 22a
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列{an}中，a2=4，a6=8，则a10= ______．
14.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(2,−1,2)，则向量b在向量a上的投影向量是______．
15.直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|= 3，则实数k的值等于______．
16.已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，E上两点A，B满足3AF2=2F2B，|AF1|=2|AF2|，则E的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情⋅你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为A，B，C，D，E，F，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M发生的概率．
18.(本小题12分)
已知圆C的圆心坐标为(1,1)，直线l：x+y=1被圆C截得的弦长为 2．
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点P(2,3)且与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12分)
在数列{an}中，a1=12,an+1=3anan+3．
(1)求出a2，a3，猜想{an}的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想．
(2)令bn=3nan，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，左顶点坐标为(−2,0)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点P(1,−1)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点B(0,1).问：直线BM，BN斜率之和kBM+kBN是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，其中AD//BC，AD=3，AB=BC=2，CD= 3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)记平面PBC∩平面PAD=l，判断直线l和直线BC的位置关系，并证明；
(2)若二面角P−DC−A的大小为45°，M是靠近P的三等分点，求NM与平面PCD所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=8与抛物线C交于点P，且|PF|=52p．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，求|PQ|的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线 6x+ 2y−1=0整理得y=− 3x+ 22；
故tanθ=− 3，
由于θ∈[0,180°)．
故θ=120°．
故选：C．
直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的夹角．
本题考查的知识要点：直线的方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：甲、乙、丙三人排队共有A33=6种方法，
甲不排在第一位的方法有C21A22=4种方法，
则甲不排在第一位的概率为46=23．
故选：D．
求得三人排队总的方法数和甲不排在第一位的方法数，根据古典概型公式计算即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
根据{an}是等差数列可得a3+a11=2a7=24，则a7=12，进一步利用a6+a7+a8=3a7进行求解即可．
【解答】
解：∵{an}是等差数列，
∴a3+a11=a7−4d+a7+4d=2a7，
又∵a3+a11=24，
∴2a7=24，即a7=12，
∴a6+a7+a8=a7−d+a7+a7+d=3a7=3×12=36．
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两个圆的位置关系，一般利用圆心距与半径和与差的关系判断，不要利用解方程组的方法，不易判断内切与外切，相离与内含，属于基础题。
求出两个圆的圆心与半径，然后求出两个圆心的距离，比较距离与两个圆的半径的关系即可得出．
【解答】
解：圆C1：(x+1)2+(y−3)2=4的圆心(−1,3)，半径为2；
圆C2：(x−2)2+(y+1)2=9的圆心(2,−1)，半径为3；
两个圆心的距离为： (2−(−1))2+((−1)−3)2=5，
两个圆的半径和为：2+3=5，
所以两个圆相外切．
故本题答案选：D．
5.【答案】B
【解析】解：设点P的横坐标为m(m>0)，
∵抛物线y2=8x，∴p=4，
由抛物线的定义可知，|PF|=m+2，因此有m+2=3m，解得m=1．
则PF的中点的横坐标：32，
则PF的中点到y轴距离等于32．
故选：B．
通过抛物线的方程可知p=2，设点P的横坐标为m，利用抛物线的定义建立关于m的方程，求解m，然后求解则PF的中点到y轴距离．
本题考查抛物线的定义，考查学生的运用能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：由x= 4−y2，得x2+y2=4(x≥0)，
如图，
当直线l：y=x+m与x2+y2=4(x≥0)相切时，则m 2=2，
解得：m=±2 2，又m=2 2不合题意，∴m=−2 2，
当直线过半圆的右顶点(2,0)时，2+m=0，∴m=−2，
∴若直线l：y=x+m与曲线x= 4−y2有两个公共点，则实数m的取值范围是(−2 2,−2]．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵满足a1>0，S9=S14，
∴9a1+36d=14a1+91d，化为：a1+11d=0，
∴a12=0，d<0，S23=23(a1+a23)2=23a12=0，∴S22>0．
故选：C．
设等差数列{an}的公差为d，由满足a1>0，S9=S14，可得9a1+36d=14a1+91d，化为：a1+11d=0，进而判断出结论．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求双曲线的离心率，属于基础题．
把x=−1代入渐近线方程，结合已知三角形面积，由此得出ba的值，再转化为ca即得．
【解答】
解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，将x=−1代入y=±bax中，解得y=±ba,故12⋅2ba⋅1= 3，故ba= 3，
故双曲线C的离心率e=ca= 1+b2a2=2．
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】解：A：由a(a−1)−6=0，解得a=3或a=−2，经验证a=3，a=−2时两条直线平行，∴A错误，
B：当a=25时，则l1：x+5y+3=0，l2：15x−3y+13=0，∵1×15+5×(−3)=0，∴l1⊥l2，∴B正确，
C：∵直线l1：ax+2y+3a=0，则a(x+3)+2y=0，∴x+3=0且y=0，∴x=−3，y=0，∴直线l1过定点(−3,0)，∴C错误，
D：∵直线l1过定点N(−3,0)，∴点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为PN= (1+3)2+32=5，∴D正确，
故选：BD．
利用直线的平行判断A，利用直线的垂直判断B，利用直线过定点判断C，利用两点间的距离公式判断D．
本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于y=lnx，则y′=1x，故A正确；
对于B，由于y=csx，则y′=−sinx，故B错误；
对于C，由于y=ex，则y′=ex，故C错误，
对于D，由于y= x=x12，则y′=12 x，故D正确．
故选：AD．
根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答．
本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则，注意导数的计算公式，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A：A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+13=56，故A错误；
对于B：A，B是对立事件，由于对立事件为必然事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故B正确；
对于C：A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，所以P(B−)=1−23=13，所以P(AB−)=P(AB−)=13×13=19，故C正确；
对于D：若A，B是独立事件，则：P(A−)=13，P(B−)=14，P(B)=34，所以P(A−B)=14，但是反之不一定成立，故D错误．
故选：BC．
直接利用互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，A1(0,0,a)，B1(a,0,a)，C1(a,a,a)，D1(0,a,a)．
AB1=(a,0,a),BC=(0,a,0),CD1=(−a,0,a),AB1⋅BC=0,AB1⋅CD1=0，
得AB1⊥BC，AB1⊥CD1，由BC，CD1⊂平面BCD1，BC∩CD1=C，∴AB1⊥平面BCD1，A选项正确；
B1D1=(−a,a,0),B1C=(0,a,−a)，设平面B1CD1的一个法向量n=(x,y,z)，
则有B1D1⋅n=−ax+ay=0B1C⋅n=ay−az=0，令x=1，得y=1，z=1，则n=(1,1,1)，
|cs〈AB1,n〉|=|AB1⋅n||AB1||n|=2aa 2× 3= 63≠ 22，所以直线AB1平面B1CD1所成角不是45°，B选项错误；
△B1CD1为边长为 2a的等边三角形，S△B1CD1=12× 2a× 2a×sin60°= 32a2，
点A到平面B1CD1的距离hA=|AB1⋅n||n|=2a 3=2 33a，
三棱锥A−B1CD1的体积VA−B1CD1=13S−B1CD1⋅hA=13× 32a2×2 33a=13a3，
而棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为a3，
所以三棱锥A−B1CD1的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1体积的13，C选项正确；
AB1=(a,0,a),AD1=(0,a,a)，设平面AB1D1的一个法向量m=(x′,y′,z′)，
则有AB1⋅m=ax′+az′=0AD1⋅n=ay′+az′=0，令x′=1，得y′=1，z′=−1，则m=(1,1,−1)，
AC1=(a,a,a)，点C1到平面AB1D1的距离为hC=|AC1⋅m||m|=a 3= 33a，故D选项错误．
故选：AC．
建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题，可判断BC；利用线面垂直的判定定理，可判断A；利用点到平面的距离公式和棱锥的体积公式，可判断C．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】16
【解析】解：因为等比数列{an}中，a2=4，a6=8，
∴q4=a6a2=2，
则a10=a6q4=8×2=16．
故答案为：16
由已知结合等比数列的性质即可直接求解．
本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题．
14.【答案】(2,0,2)
【解析】解：向量a=(1,0,1)，b=(2,−1,2)，
则|a|= 2，|b|=3，a⋅b=4，
所以向量b在向量a上的投影向量为
|b|csa|a|=|b|⋅a⋅b|a||b|⋅a|a|=3×43 2×1 2×(1,0,1)=(2,0,2)，
故答案为：(2,0,2)．
由向量b在向量a上的投影向量为|b|csa|a|，计算即可求出答案．
本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
15.【答案】± 3
【解析】解：由圆x2+y2=1，得到圆心(0,0)，半径r=1，
∵圆心到直线y=kx+1的距离d=1 k2+1，|AB|= 3，
∴|AB|=2r r2−d2，即|AB|2=4(r2−d2)，
∴3=4(1−1 1+k2)，解得：k=± 3．
故答案为：± 3．
由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+1的距离d，再由弦AB的长及圆的半径，利用垂径定理及勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
16.【答案】 55
【解析】解：如图，
因为3AF2=2F2B，所以可设|AF2|=2t，|F2B|=3t，
又|AF1|=2|AF2|，所以|AF1|=4t，
由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=6t=2a，即t=a3，
又|BF1|=2a−|BF2|=2a−a=a，即B点为短轴端点，
所以在△ABF1中，
csB=|BF1|2+|BA|2−|AF1|22|BF1|⋅|BA|
=a2+(a+2a3)2−(4a3)22a⋅5a3=35，
又在△F2BF1中，
csB=|BF1|2+|BF2|2−|F1F2|22|BF1|⋅|BF2|=2a2−4c22a⋅a
=1−2e2=35，
解得e= 55或e=− 55(舍去)．
故答案为： 55．
根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出△ABF1的边长，利用余弦定理求csB，在△F2BF1中再由余弦定理即可求出离心率．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人．
(Ⅱ)(ⅰ)从抽出的 6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为：{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{D,E}，{D,F}，{E,F}，共15种．
(ⅱ)由(Ⅰ)，不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A，B，C，来自乙学校的是D，E，来自丙学校的是F，
则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，共4种．
所以，事件M发生的概率P(M)=415．
【解析】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏．
(Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1，进而计算可得相应的人数；
(Ⅱ)(i)列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种；
(ii)随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，共4种，由概率公式可得．
18.【答案】解：(1)设圆C的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2=r2(r>0)，
圆心C(1,1)到直线x+y−1=0的距离d=|1+1−1| 2= 22，
则r2=d2+( 22)2=12+12=1，
所以圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=1．
(2)①当切线斜率不存在时，设切线：x=2，此时满足直线与圆相切．
②当切线斜率存在时，设切线：y−3=k(x−2)，即y=kx−2k+3，
则圆心C(1,1)到直线y=kx−2k+3的距离d=|k−1−2k+3| k2+1=1，
整理得4k=3，解得k=34，
则切线方程为3x−4y+6=0，
综上，切线方程为x=2和3x−4y+6=0．
【解析】(1)根据题意设出圆C的标准方程，由圆心到直线的距离d和半径r、弦长AB的关系，求出r的值，从而写出圆的标准方程；
(2)讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，求出对应切线的方程．
本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a1=12，an+1=3anan+3，
则a2=3a1a1+3=3×1212+3=37，a3=3a2a2+3=3×3737+3=38，
因此可猜想an=3n+5(n∈N*)；
当n=1时，a1=12，等式成立，
假设n=k时，等式成立，即ak=3k+5，
当n=k+1时，ak+1=3akak+3=3×3k+5k+5=3k+6=3(k+1)+5，即当n=k+1时，等式也成立，
综上所述，对任意自然数n∈N+an=3n+5；
(2)由bn=3nan=(n+5)⋅3n−1，
所以Tn=6×30+7×3+8×32+…+(n+5)×3n−1，
3Tn=6×3+7×32+…+(n+5)×3n，
两式相减得，−2Tn=1+3+32+…+3n−1−(n+5)×3n+5
=1−3n1−3−(n+5)×3n+5=(−n−92)×3n+92，
所以Tn=(n2+94)⋅3n−94．
【解析】(1)代入计算即可得到a2，a3，按照数学归纳法的步骤证明即可；
(2)先求出bn=3n−1(n+5)，再利用错位相减法即可．
本题主要考查了数学归纳法在数列通项公式求解中的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得a=2e=ca= 32b2=a2−c2，解得a=2，b=1，
所以椭圆的方程为：x24+y2=1；
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为：x=1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
将l的方程代入椭圆的方程可得：y2=1−14=34，
可得y=± 32，设M(1, 32)，N(1,− 32)，
则kBM+kBN=y1−1x1+y2−1x2= 32−11+− 32−11=−2为定值；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，直线l过(1,−1)点，所以k+m=−1，
联立y=kx+mx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0⇒4k2>m2−1=(−1−k)2−1，即3k2>2k，所以k>23或k<0，
x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，
所以kBM+kBN=y1−1x1+y2−1x2=kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=2k+(m−1)x1+x2x1x2=2k+(m−1)⋅−8km4m2−4=2k−2kmm+1=
2km+2k−2kmm+1=2(−1−m)m+1=−2为定值；
综上所述：kBM+kBN为定值−2．
【解析】(Ⅰ)由左顶点和离心率及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(Ⅱ)分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线BM，BN的斜率之和，整理可得为定值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，斜率之和为定值的求法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)BC//l，证明如下：
∵AD/​/BC，AD⊂平面APD，BC⊄平面PAD，
∴BC/​/平面PAD，
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，
∴BC/​/l；
(2)在梯形ABCD中，过点C作CE/​/AB交AD于点E，

由已知可得DE2+CD2=CE2，即CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又PA∩AD=A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，
∴CD⊥PD，则二面角P−DC−A的平面角为∠PDA=45°，
∴PA=AD=3，
又VN−PCD=VP−NCD，则13S△PCDhN=13S△NCDhP，即13×(12× 3×3 2)hN=13×(12×1× 3)×3，解得hN= 22，即点N到平面PDC的距离为 22，
如图，过点M作MH⊥AD于点H，

则MH/​/PA，则AH=13AD=1=BN，
∴AH/​/BN且AH=BN，则四边形ABNH为平行四边形，
∴NH=AB=2，
又MH=23PA=2，则NM= NH2+MH2=2 2，
∴NM与平面PCD所成角的正弦值为 222 2=14．
【解析】(1)证明BC/​/平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得出结论；
(2)首先分析出CD⊥AD，进而得到二面角P−DC−A的平面角为∠PDA=45°，再利用等体积法求得点N到平面PDC的距离，过点M作MH⊥AD于点H，求得MH，NH的值，进而可得到答案．
本题以四棱锥为背景，考查线面平行的性质定理，考查线面角的正弦值求法，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
22.【答案】解：(1)依题意，设P(x0,8)，
由抛物线的定义得|PF|=x0+p2=52p，解得：x0=2p，
因为P(x0,8)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
所以82=2px0，所以82=2p⋅2p，解得：p=4．
故抛物线C的方程为y2=8x．
(2)由题意可知F(2,0)，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为x=my+2(m≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立x=my+2y2=8x，整理得：y2−8my−16=0，
则y1+y2=8m，从而x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4．
因为P是弦AB的中点，所以P(4m2+2,4m)，
同理可得Q(4m2+2,−4m)．
则|PQ|= [(4m2+2)−(4m2+2)]2+(4m+4m)2=4 (m2−1m2)2+(m+1m)2
=4 m4+1m4+m2+1m2≥4 2 m4⋅1m4+2 m2⋅1m2=4 2+2=8，
当且仅当m4=1m4且m2=1m2，即m=±1时等号成立，
故|PQ|的最小值为8．
【解析】(1)设出P(x0,8)，由焦半径得到方程，求出p=4，进而求出抛物线方程；
(2)设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出|PQ|，利用基本不等式求出最小值．
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．