十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题21数列解答题（理科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题21数列解答题（理科）（Word版附解析），共84页。试卷主要包含了 已知数列满足，， 已知数列和满足，，，， 设数列的前和为,满足，且， 已知等差数列满足等内容，欢迎下载使用。
十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题
目录
题型一：数列的概念和通项公式 1
题型二：等差数列的定义与性质 7
题型三：等比数列的定义与性质 10
题型四：数列的求和 11
题型五：数列中的新定义问题 13
题型六：数列中的证明问题 26
题型七：数列与其他知识的交汇 33
题型八：数列的综合应用 43


题型一：数列的概念和通项公式
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题) 已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
【答案】；．
解析:(1)由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故．
(2)设的前项和为，则，
因为，
所以
．
2．(2014高考数学湖南理科·第20题) 已知数列满足，
(Ⅰ)若是递增数列，且成等差数列，求的值；
(Ⅱ)若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．
【答案】(1) (2)
解析：(I)因为是递增数列，所以。而，因此又成等差数列，解得，但当时，，这与是递增数列矛盾。故．
(Ⅱ)由于是递增数列，因而，于是
①
但，所以
． ②
又①，②知，，因此
③
因为是递减数列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是

．
故数列的通项公式为
3．(2019·全国Ⅱ·理·第19题) 已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
【答案】见解析；，.
【官方解析】
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．
由知，，．
所以，
．
【分析】可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
可通过中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果.
【解析】由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为等差数列，.
由可知，，，
所以，.
【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.
4．(2014高考数学广东理科·第19题) 设数列的前和为,满足，且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】解：(1)当时， ①
当时， ②
③
由①②③解得
(2)当时，①
②
①—②化简得(当时也成立)
方法1：(凑配)
令，求得即

令，则，即
因为，故必有，即
方法2：(数学归纳法)由(1)，猜想，
下面用数学归纳法证明对：
当时，成立
假设当时成立，即有，
当时，
所以，成立
综上所述，对
5．(2014高考数学湖北理科·第18题) 已知等差数列满足：，且、、成等比数列．
(Ⅰ)求数列的通项公式．
(Ⅱ)记为数列的前项和， 是否存在正整数，使得若存在， 求的最
小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)或；(2)详见解析．
解析：(1)设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当是，；当时，，所以数列的通项公式为或．
(2)当时，，显然，不存在正整数，使得．
当时，，令，即，解得或(舍去)，此时存在正整数，使得成立，的最小值为41．
综上所述，当时，不存在正整数；
当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41．
6．(2021年高考全国乙卷理科·第19题) 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
解析：(1)由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴．
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．
7．(2018年高考数学浙江卷·第20题) 已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题知，
，，解得或，
， ．
(2)方法一：错位相减法
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以， 故，


设，

，，
方法二：构造常数列
设，数列前项和为，由，解得．
由(1)知 ，所以，
而，
所以，
所以数列是一个常数列。即，
所以．
说明：其中是采用待定系数法求出的
可设待定求出．

题型二：等差数列的定义与性质
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题) 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)，，解得，
，
又，
，
即，解得或(舍去)，
．
(2)为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或(舍去)
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得．
综上，．
2．(2015高考数学四川理科·第16题) 设数列的前项和，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和，求得成立的的最小值．
【答案】(1)；(2)10．
解析：(1)由已知，有，
即．
从而．
又因为成等差数列，即．
所以，解得．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．
故．
(2)由(1)得．
所以．
由，得，即．
因为，
所以．
于是，使成立的n的最小值为10．
考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力．
3．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第17题) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)．
【解析】(1)解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：．
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为．

题型三：等比数列的定义与性质
1．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第17题) (12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
【答案】(1)或；(2)
【官方解析】(1)设的公比为，由题设得
由已知得，解得(舍去)，或
故或
(2)若，则，由，得，此方和没有正整数解
若，则，由，得，解得
综上，．
【民间解析】(1)设等比数列的公比为，由，可得，所以
所以
当时，；当时，
(2)由(1)可知
当时，由即，即，所以；
当时，由即，即，无解
综上可知．
2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题) 已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
题型四：数列的求和
1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第17题) (12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：(1)设的公差为，由题意得．
由得，所以的通项公式为．
(2)由(1)得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
2．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题) (本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
(I)求；(II)求数列的前1 000项和．
【答案】(1)，，；(2)．
【解析】(1)设的公差为，据已知有，解得．
所以数列的通项公式为．
，，．
(2)因为
所以数列的前项和为．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
解析：(1)由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为．
(2)由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个．
所以．
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
【答案】(1)；(2)
解析：(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：．
(2)由于：，故：


．
5．(2023年全国甲卷理科·第17题) 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
(2)因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
6.(2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得．
从而的通项公式为．由，又，可得，解得，
从而的通项公式为．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，所以．
(Ⅲ)当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：．
因此，．所以，数列的前项和为．
7．(2014高考数学山东理科·第19题) 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)(或)
解析：(1)因为，，
，
由题意得，解得，
所以．
(2)．
当为偶数时，
．
当为奇数时，
．
所以(或)
8．(2014高考数学江西理科·第18题) 已知首项都是1的两个数列(),满足．
(1)令,求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和
【答案】(1)(2)
分析:(1)已知数列,因此对变形为所以数列是以首项,公差的等差数列,故
(2)由知,是等差乘等比型,所以求和用错位相减法． ,
相减得
所以
解析:(1)因为,
所以
所以数列是以首项,公差的等差数列,故
(2)由知
于是数列前n项和

相减得
所以
考点:等差数列定义,错位相减求和
9．(2014高考数学大纲理科·第18题) 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设等差数列的公差为，而，从而有
若，，此时不成立
若，数列是一个单调递增数列，随着的增大而增大，也不满足
当时，数列是一个单调递减数列，要使，则须满足即，又因为为整数，所以，所以
此时
(2)由(1)可得
所以
．
10．(2015高考数学新课标1理科·第17题) (本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：
(Ⅱ)设,求数列的前项和
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
分析：(Ⅰ)先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和．
解析：(Ⅰ)当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，
所以数列{}前n项和为= =．
11．(2015高考数学天津理科·第18题) (本小题满分13分)已知数列满足
，且成等差数列．
(Ⅰ)求的值和的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) ．
解析：(Ⅰ) 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得，设数列的前项和为，则
，

两式相减得
，
整理得
所以数列的前项和为．

12．(2015高考数学山东理科·第18题) 设数列的前项和为．已知．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)若数列满足，求的前项和．
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)．
分析：(Ⅰ)利用数列前 项和 与通项 的关系求解；
(Ⅱ)结合第(Ⅰ)问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和．
解析：
(Ⅰ)因为
所以， ，故
当 时，
此时， 即
所以，
(Ⅱ)因为 ，所以
当 时，
所以
当 时，

所以
两式相减，得


所以
经检验， 时也适合，
综上可得：
13．(2015高考数学湖北理科·第18题) (本小题满分12分)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)当时，记，求数列的前项和．
【答案】解析：(Ⅰ)由题意有， 即
解得 或 故或
(Ⅱ)由，知，，故，
于是， ①
． ②
①-②可得，
故．
14．(2017年高考数学天津理科·第18题) 已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,．
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为．
由已知,得,而,所以．
又因为,解得．所以,．
由,可得①．
由,可得②,
联立①②,解得,,由此可得．
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为．
(2)解:设数列的前项和为,
由,,有,
故,
,
上述两式相减,得

得．
所以,数列的前项和为．

15．(2016高考数学山东理科·第18题) (本小题满分12分)已知数列 的前n项和，是等差数列，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令 求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)由题意知当时，，当时，，
所以．设数列的公差为，由，即，
可解得,所以．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又，
得，
，
两式作差，得

所以
16．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第17题) 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设的公比为，为的等差中项，
，
；
(2)设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
．
17．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第17题) 设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】(1)，，，证明见解析；(2)．
解析：(1)由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立．
那么时，也成立．
则对任意的，都有成立；
(2)由(1)可知，
，①
，②
由①②得：
，
即．
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
18．(2014高考数学浙江理科·第19题) 已知数列和满足．若为等比数列，且
(1)求与；
(2)设。记数列的前项和为．
(i)求；
(ii)求正整数，使得对任意，均有．
【答案】解析：(I)由题意，，，知，又有，得公比(舍去)，所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
(II)(i)由(I)知，，所以；
(ii)因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．
19．(2014高考数学上海理科·第23题) 已知数列满足．
(1)若，求的取值范围；
(2)若是公比为的等比数列，，若，，
求的取值范围；
(3)若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差．
【答案】
解析:(1)由条件得且，解得．
所以的取值范围是[3,6]．……3分
(2)由，且，得，所以……4分
又，所以．……5分
当时，，，由得成立．……6分
当时，即．
①若，则
由得，所以……8分
②若，则．
由得，所以
综上，的取值范围为．……10分
(3)设数列的公差为．由，且，
得
即
当时，，
当时，由得
所以……14分
所以，即，
得．……17分
所以的最大值为，时，的公差为．……18分．

题型五：数列中的新定义问题
1．(2017年高考数学江苏文理科·第19题) 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”．
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列．
【答案】(1)见解析(2)见解析
解析:证明:(1)因为是等差数列,设公差为d,则,
从而,当时,

所以,
因此等差数列是“数列”;
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,．②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,
所以是等差数列,设其公差为
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以是等差数列．
2．(2023年北京卷·第21题) 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)证明见详解
解析：(1)由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，．
(2)由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以．
(3)
(ⅰ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
(ⅱ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有．
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
3．(2019·上海·第21题) 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若具有性质，则
②若具有性质而不具有性质，则即；
③若不具有性质，则必有即；
此时若具有性质，则；若不具有性质，则
综上所述，可能的值为3、5、7
（2） 假设中不存在满足性质的项，即对任意均有；
下面数学归纳法证明，是等差数列；
①当时，成立；
②设当且时，；
则当时，因为不具有性质，故
而又存在故，，即；
综上所述，当中不存在满足性质的项时，时等差数列成立；
故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.
（3） 由题意，不妨设这三项为，其中;且
故数列为等差数列；为等差数列；
为等差数列，为等差数列；
若存在或或的情况
则去掉相应的、、每组等差数列的公差均为；
且、、
故当数列去掉这三项后，构成首项为，公差为，项数97项的等差数列；
故这97项的和；
故这100个数的和
4．(2019·江苏·第20题) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”.
(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“－数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
(2)①因为，所以
由得，则
由，得
当时，由，得
整理得．
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列的通项公式为.
②由①知，，.
因为数列为“–数列”，设公比为，所以，.
因为，所以，其中.
当时，有；
当时，有．
设f(x)=，则．
令，得.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，+∞)

+
0
–
f(x)

极大值

因为，所以．
取，当时，，即，
经检验知也成立．
因此所求的最大值不小于5．
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在.因此所求的最大值小于6.
5．(2019·北京·理·第20题) 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项(