数学八年级下册2. 反比例函数的图象和性质精品第2课时教案设计

第17章  函数及其图象

2.反比例函数的图象和性质

第2课时 反比例函数的图象和性质（2）

【知识与技能】

1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；

2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．

【过程与方法】

经历观察、分析，交流的过程，逐步提高运用知识的能力

【情感态度】

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题

【教学重点】

理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

【教学难点】

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质

一、情境导入,初步认识

1.正比例函数有哪些性质？

2.一次函数有哪些性质？

3.反比例函数有哪些性质？

【教学说明】

对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.

二、思考探究，获取新知

已知正比例函数y=ax和反比例函数y=  的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．

分析：根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．

解：因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把x=1，y=2分别代入y=ax和y=b/x中，得2=a，2=b/1，b=2．

所以正比例函数解析式为y=2x．

反比例函数解析式为y=2/x．

【教学说明】

通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.

三、运用新知，深化理解

1.已知如图，A是反比例函数y=k/x的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（   ）

A.3       B.-3

C.6       D.-6

解析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=1/2|k|．

具体解答如下：根据题意可知：

S△AOB=1/2|k|=3，

又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．

答案：C．

2.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（  ）

A.           B.2

C.3            D.1

解析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．具体解答过程如下：

如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，

∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，

∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-32=32．

答案：A．

3.已知直线y=x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值．

解: 点A(3,0)在直线y=x＋b上，所以0=3＋b，b=－3．

一次函数的解析式为：y=x－3．

又因为点B(－2，m)也在直线y=x－3上，所以m=－2－3=－5，即B(－2,－5)．

而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k=－2×(－5)=10．

4.已知反比例函数y=k1/x的图象与一次函数y=k2x－1的图象交于A(2,1)．

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．

分析:(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．

(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．

解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1=2×1=2．

1=2k2－1，k2=1．

所以反比例函数的解析式为：y=2/x；一次函数解析式为：y=x－1．

(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．

把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y==-1，所以点A′在反比例函数图象上．

把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y==－3，所以点A′不在一次函数图象上．

5.已知一次函数y=kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=-3x的图象上．

(1)求a的值．

(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．

(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．

(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．

分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．

(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．

解:(1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，-3a=，a=±1，因为a＜0，所以a=－1．B(－1,3)．

即：一次函数的解析式为y=－2x＋1．

(2)由(1)知一次函数解析式为y=-2x+1

一次函数和反比例函数的图象为：

(3)从图象上可知，当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：-1≤x≤1.

(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.

或解：当x1=m时，y1=－2m＋1；

当x2=m＋1时，y2=－2×(m＋1)＋1=－2m－1

所以y1－y2=(－2m＋1)－(－2m－1)=2＞0，即y1＞y2.

6.如图，一次函数y=kx＋b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点．

(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．

分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．

(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．

解:(1)观察图象可知，反比例函数y=的图象过点A(－2,1)，m=－2×1=－2．

所以反比例函数的解析式为：y=．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a==-2．即B(1,－2)．

一次函数解析式为：y=－x－1．

(2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

如图，点P是直线y=x+2与双曲线y=在第一象限内的一个交点，直线y=x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴于B，若AB＋PB=9．

(1)求k的值；

(2)求△PBC的面积．

通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：

1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．

2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．