2022-2023学年河北省邯郸市九校联考高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省邯郸市九校联考高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数，若，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】依题意有，对函数求导即可求出的值.

【详解】根据导数的定义得：，即，

因为，所以，解得.

故选：.

2．随机变量的所有可能的取值为，且，则的值为（    ）

A． B． C．30 D．15

【答案】B

【分析】根据随机变量的概率和为1，列出方程即可求解.

【详解】随机变量的所有可能的取值为，且，

.

故选：B.

3．若直线与曲线相切，则（    ）

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．为定值

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率建立方程得解.

【详解】设直线与曲线切于点，

对函数求导得，，所以，解得，

所以切点为，代入直线方程得：，即.

故选：B.

4．已知高二1班男、女同学人数相同，有的男同学和的女同学爱打桥牌，现随机选一名同学，这位同学恰好爱打桥牌的概率是（    ）

A．0.003 B．0.057 C．0.065 D．0.035

【答案】C

【分析】由全概率公式求解.

【详解】用事件表示“随机选一名同学是男生”，用事件表示“随机选一名同学是女生”，用事件表示“这位同学恰好爱打桥牌”，则，且互斥，

由题意知，

由全概率公式得.

故选：C.

5．有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ）

A．15 B．14 C．13 D．10

【答案】A

【分析】分情况讨论即可计算有序数对的个数.

【详解】（1）当时，有为实根，则有4种可能；

（2）当时，方程有实根，所以，所以.

当时，有4种.

当时，有4种.

当时，有3种.

所以，有序数对的个数为.

故选：A.

6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】转化为在有解，可得，令，求出最小值可得答案.

【详解】，

若在区间内存在单调递增区间，则有解，

故，令，则在单调递增，

，故.

故选：D.

7．从标有的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用古典概型求出第一次抽到奇数的概率、第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，再用条件概率公式计算作答.

【详解】事件“抽两张卡片，第一张为奇数”，“抽两张卡片，第二张为奇数”，

则有，所以.

故选：.

8．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解

【详解】，构造函数，则，

当时，此时；

当时，此时，

故，当单调递增，当单调递减，

故，故，

，又即，

故.

故选：A.

二、多选题

9．若函数的导函数在定义域内单调递增，则的解析式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】在定义域内单调递增等价于二次求导恒非负，逐项求导判断即可.

【详解】A：由，令，

因为，所以函数是上的增函数，符合题意；

B：由，因为二次函数不是定义域上的增函数，因此不符合题意；

C：由，因为函数是周期函数，所以函数不是上的增函数，因此不符合题意；

D：由，令，则，符合题意.

故选：AD.

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】令可求，令可求，由利用二项式的通项可求解.

【详解】因为，

所以令，可得，

令，可得，所以A正确，B错误；

因为，

所以展开式的通项公式为，

所以，所以C正确，D错误.

故选：AC.

11．如图，一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.事件A表示“数字为偶数”，事件B表示“数字大于4”，事件C表示“数字为3，4，5，6中的一个”，则以下结论正确的是（    ）

A．事件与事件独立

B．事件与事件不独立

C．事件与事件独立

D．

【答案】ACD

【分析】根据已知条件求出概率，根据概率的乘法公式进行计算从而判断各个选项即可.

【详解】由题意得：

事件A包含，则，

事件B包含，则，

事件C包含，则，

事件AB包含，则，

事件AC包含，则,

事件BC包含，则，

事件ABC包含，则.

显然，，事件与事件独立，故A正确；

，事件与事件独立，故B错误；

，事件与事件独立，故C正确

，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数是函数在上的一个零点，则（    ）

A．当时，

B．当时，

C．当时，

D．当时，

【答案】AC

【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D．

【详解】，当时，，此时函数单调递增；

当，，此时函数单调递减，

且，

因为是函数在上的一个零点，所以，

所以当，当，

对于A选项，当时，，故A正确；

对于B选项，当，故B错误；

对于C选项，令，故在上为增函数，

当时，，所以，即，故C正确；

对于D选项，令，故在上为增函数，

当时，，所以，即，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．          .

【答案】0

【分析】利用组合数的性质求解.

【详解】.

故答案为：0.

14．已知随机变量服从正态分布，若，则          .

【答案】0.38/

【分析】根据给定条件利用正态分布的对称性求解作答．

【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知，

则．

故答案为：0.38．

15．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了更好地服务大会，将5名志愿者分配到4个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为          .（用数字作答）

【答案】240

【分析】可先将5人分为的四组，再将分好的4组对应4个场馆，由分布乘法计数原理可得答案.

【详解】可先将5人分为的四组，有种分组方法，

再将分好的4组对应4个场馆，有种方法，则共有种分配方案.

故答案为：240.

16．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则          .

【答案】

【分析】分别按照n次独立重复实验计算即可.

【详解】由题意知，小虫向前或向后爬行1个单位的概率为，

若，则爬行2022次后小虫一共向前爬行1011次，向后爬行1011次，，

若，则爬行2022次后小虫一共向前爬行1012次，向后爬行1010次，，

故.

故答案为：

四、解答题

17．设是不等式的解集，整数.

(1)设“使得成立的有序数组”为事件，试列举事件包含的基本事件；

(2)设，求的分布列.

【答案】(1)答案见解析

(2)分布列见解析

【分析】（1）解不等式求出，即得解；

（2）的所有不同取值为，求出对应的概率即得解.

【详解】（1）由，得，即

由于且，

所以事件包含的基本事件为：.

（2）由于的所有不同取值为.

所以的所有不同取值为，且有，.

故的分布列为：

18．已知函数在处有极值0.

(1)讨论函数在上的单调性；

(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；

（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.

【详解】（1）由可得，

因为在处有极值0，

所以，即，解得或，

当时，，

函数在上单调递增，不满足在时有极值，故舍去

所以常数的值分别为，

所以，，

令，解得，

当或时，当时，，

所以，函数的在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）可知，

，

的单调递增区间是和，单调递减区间为，

当时，有极大值，

当时，有极小值，

要使函数有三个零点，则须满足，解得.

19．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.

条件①：第3项与第11项的二项式系数相等；

条件②：只有第7项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为4096.

问题：在的展开式中，__________.

(1)求的值；

(2)若其展开式中的常数项为-220，求其展开式中所有项的系数的和.

【答案】(1)12

(2)0

【分析】（1）根据所选条件，利用二项式系数的性质，求解的值；

（2）由展开式的通项公式计算常数项，得到系数的值，令可得展开式的所有项的系数和.

【详解】（1）选①：因为，所以；

选②：因为只有第7项的二项式系数最大，所以，则；

选③：因为所有项的二项式系数的和为4096，则，则；

（2）二项式的展开式的通项公式为，

令，解得，

所以展开式的常数项为，得，所以，

令可得展开式的所有项的系数和为

20．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中､海上汇聚中国：泰国的榴莲､山竹､椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等､一等､二等､三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

(1)若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；

(2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y表示抽取的优级水果的数量，求Y的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设抽到二等级别水果的个数为，则，进而利用二项分布求概率公式进行计算；

（2）优级水果的数量服从超几何分布，求出可能的取值及对应的概率，得到分布列和期望.

【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，

则，

随机抽取5个，设抽到二等级别水果的个数为，则，

所以恰好抽到2个二等级别水果的概率为.

（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，

则其中优级水果有3个，非优级水果有7个.

现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为.

则，

.

所以的分布列如下：

所以.

21．一批电子元器件在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批电子元器件中随机抽取5个，对其一个一个地进行检测，若这5个都为优质品，则这批电子元器件通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批电子元器件不能通过这次质量检测，假设抽取的每个电子元器件是优质品的概率都为p.

(1)设一次质量检测共检测了X个电子元器件，求X的分布列；

(2)设，已知每个电子元器件的检测费用都是100元，对这批电子元器件进行一次质量检测所需的费用记为Y（单位：元），求Y的数学期望的最小值.

【答案】(1)分布列见解析

(2)409.51元

【分析】（1）列举的所有可能取值，分别求概率，写出分布列；

（2）求出，从而求出，构造函数，利用单调性求出最值即可.

【详解】（1）由题意知可取，

的分布列为：

（2）由（1）知，

所以

设，则在单调递增，

当时，取得最小值

的数学期望的最小值409.51元.

22．已知函数.

(1)求函数的图象在处的切线；

(2)若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）等价变形不等式，构造函数，利用导数确定其最小值点，再求出的范围即可求解作答.

【详解】（1）函数，求导得，则，

所以函数的图象在处的切线为，即.

（2）依题意，，即在上恒成立，

令，求导得，

显然函数有一正一负的两个零点，

设其正零点为，则，即，

当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，于是，

即，令，

则，

当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，

又，由，得，因此，

显然函数在上是关于的单调递增函数，则，

所以实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.