河北省邯郸市六校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市六校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．现有3幅不同的油画,4幅不同的国画,5幅不同的水彩画,从这些画中选一幅布置房间,则不同的选法共有( )
A.10种B.12种C.20种D.60种
2．某物体沿直线运动,其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为,则在这段时间内,该物体位移的平均速度为( )
A.2B.4C.5D.6
3．随机变量X的分布列为
则( )
A.B.C.D.
4．用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的三位数的个数为( )
A.16B.36C.48D.60
5．已知函数,则的极值点的个数为( )
A.1B.2C.3D.0
6．一个盒子中装有白色乒乓球4个,橘黄色乒乓球2个.现从盒子中任取2个乒乓球,记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X,则( )
A.1B.2C.D.
7．如图,小华从图中A处出发,先到达B处,再前往C处,则小华从A处到C处可以选择的最短路径有( )
A.25条B.48条C.150条D.512条
8．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下．
每个孩子的性别是男是女的概率均为,且相互独立,则一个家庭中男孩比女孩多的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．由一组样本数据,,···,,利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为,则下面说法正确的是( )
A.直线至少经过点,,···,中的一个点
B.直线必经过点
C.相关系数r与回归系数同号
D.相关系数r越大,两个变量之间的线性相关性越强
10．已知函数的导函数的图象大致如图所示,下列结论正确的是( )
A.在上单调递增
B.在上单调递增
C.曲线在处的切线的斜率为0
D.曲线在处的切线的斜率为4
11．某商场开业期间举办抽奖活动,已知抽奖箱中有30张奖券,其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,记A表示甲中奖,B表示乙中奖,则( )
A.B.
C.D.
12．已知函数,函数,下列结论正确的是( )
A.有2个零点
B.若,则有4个零点
C.若只有1个零点,则m的取值范围是
D.若恰有5个零点,则m的取值范围是
三、填空题
13．在的展开式中,的系数为____________.
14．某科研院校培育枇杷新品种,新培育的枇杷单果质量X（单位：g）近似服从正态分布,现有该新品种枇杷100000个,估计单果质量不低于28g的枇杷有____________个.
附：若,则,,.
15．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉,要求相邻区域布置的花卉种类不同,且每个区域只布置一种花卉,若有5种不同的花卉可供选择,则不同的布置方案有_______________.
16．已知直线与曲线相切,则的最小值是____________．
四、解答题
17．近年来,短视频作为以视频为载体的聚合平台,社交属性愈发突出,在用户生活中覆盖面越来越广泛,已逐渐成为社交平台发展的新方向,同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似,存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查,得到如下数据：
参考公式：,其中.
（1）依据的独立性检验,能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？
（2）为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因,用频率近似概率,从观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取10名用户进行回访,记抽出的10人中年龄段为岁,且选择甲公司购物平台的人数为X,求X的期望.
18．某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评,并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分.以下是价格和对应的评分数据：
（1）根据以上数据,求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）;
（2）某网友准备购买一台评分不低于90分的航拍无人机,根据（1）中线性回归方程,预估最少需要多少元（结果精确到整数）.
附：对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.
参考数据：,.
19．从6名男生,5名女生中选举3人分别担任班长,学习委员和体育委员.
（1）若担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,则不同的情况有多少种？
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有多少种？
20．已知函数.
（1）当时,证明：.
（2）讨论的单调性.
21．甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛,比赛规则如下：比赛实行三局两胜制（假定没有平局）,任何一方率先贏下两局比赛时,比赛结束,围棋分为黑白两棋,第一局双方选手通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋,从第二局开始,上一局的败方拥有优先选棋权.已知甲下黑棋获胜的概率为,下白棋获胜的概率为,每位选手按有利于自己的方式选棋.
（1）求甲选手以获胜的概率;
（2）比赛结束时,记这两人下围棋的局数为X,求X的分布列与期望.
22．已知函数（其中e为自然对数的底数）,且曲线在处的切线方程为．
（1）求实数m,n的值;
（2）证明：对任意的,恒成立．
参考答案
1．答案：B
解析：分三类：
第一类,从3幅不同的油画中任选一幅,有3种;
第二类,从4幅不同的国画中任选一幅,有4种;
第三类,从5幅不同的水彩画任选一幅,有5种,
根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意可得该物体位移的平均速度为,
故选：C.
3．答案：A
解析：由,得,
,
.
故选：A.
4．答案：C
解析：第一步,从1,2,3,4中任选一个数字排在百位,有4种;
第二步,从剩下的4个数字中任选2个排在十位和个位,有种,
根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数.
故选：C.
5．答案：B
解析：由于,
故,
当时,,则,时,,
时,,
故在上都单调递增,在上单调递减,
故是函数的极大值点,是函数的极小值点,
同理判断当时,是函数的极大值点,是函数的极小值点,
故的极值点的个数为2,
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意可知取出的橘黄色球的个数X的所有可能取值为0,1,2,
则,
,
;
所以可得.
故选：D.
7．答案：C
解析：从A处到B处的最短路径有条,
从B处到C处的最短路径有条,
则小华从A处到C处可以选择的最短路径有条．
故选：C.
8．答案：A
解析：一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩,且男孩”、“有2个小孩,且为男孩”、“3个小孩,3个男孩或2个男孩”,
所以概率
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于A,直线有可能不经过点,,···,中的任何一个点,故A不正确;
对于B,显然正确;
对于C,当两个变量正相关时,相关系数r与回归系数同为正号,当两个变量负相关时,相关系数r与回归系数同为负号,故C正确;
对于D,相关系数r的绝对值越大,两个变量之间的线性相关性越强,故D不正确.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：由导函数的图象可知当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,A错误;
由图象可知当时,,在上单调递增,B正确;
由于,根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4,C错误,D正确,
故选：BD.
11．答案：AC
解析：由题意可知,,则A正确;
,则B错误;
,则C正确;
,则D错误;
故选：AC.
12．答案：ABD
解析：当时,,所以,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以当时,取极大值,
,,,,,,,
的图象如图所示：
由图可知有2个零点,则A正确;
设,由,得,
当时,
的解是,所以有2个不同实根,
有2个不同实根,则有4个不同实根,故B正确;
当时,
有3个不同实根,,,设,,．
有2个不同实根,有2个不同实根,有3个不同实根,
则有7个不同实根;
当时,
有2个不同实根,,
设,
有2个不同实根,有3个不同实根,则有5个不同实根;
当时,
有2个不同实根,,
设,
有2个不同实根,有2个不同实根,则有4个不同实根;
当时,
有且只有1个实根,且,
当时,则有2个不同实根;当时,只有1个实根;
当时,
有且只有1个实根,且,则只有1个实根．
故C错误,D正确．
故选：ABD．
13．答案：150
解析：由题意可得在的展开式中,
通项为,
的系数为,
故答案为：150.
14．答案：97725
解析：因为,所以,,
所以,
所以估计单果质量不低于28g的枇杷有个.
故答案为：97725.
15．答案：540
解析：如图：给5块不同的区域标上字母,
可先在A中布置花卉,有5种不同的布置方案,
再在B中布置花卉,有4种不同的布置方案,
再在D中布置花卉,有3种不同的布置方案,
若区域B,E布置同种花卉,则C有3种不同的布置方案,
若区域B,E布置不同的花卉,则E有2种不同的布置方案,C有3种不同的布置方案,
故不同的布置方案有种,
故答案为：540.
16．答案：-1
解析：直线与曲线相切,
设切点为,
则,所以,
因为,所以,
即,
又,,故,
将代入得,,
解得,
故,
令,
则,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故在处取得极小值,也时最小值,
故,
故的最小值为-1.
故答案为：-1.
17．答案：（1）能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关
（2）
解析：（1）零假设为：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关,
,
所以依据的独立性检验,推断不成立,即能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关.
（2）由列联表可知,观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中,年龄段为岁,且选择甲公司购物平台的人数频率为,
用频率估计概率,所以,故.
18．答案：（1）
（2）2400元
解析：（1）由题意得,
,
故,
所以,
y关于x的线性回归方程为.
（2）令,解得,
即预估最少需要2400元.
19．答案：（1）870
（2）540
解析：（1）由题意知担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,
可从11人中人选3人,减去全是选男生的情况,再分配担任不同的职务,
故不同的情况有种;
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,
则不同的情况有种
20．答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
解析：（1）当时,,,
令,得,令,得,
所以在上为减函数,在上为增函数,
所以,当且仅当时,等号成立,
而当时,,当且时,,
所以.
（2）的定义域为,
,
当时,,令,得,令,得,
所以在上为减函数,在上为增函数.
当时,令,得或,
若,即时,令,
得或;令,得,
所以在和上为减函数,在上为增函数;
若,即时,在上恒成立,所以在上为减函数;
若,即时,令,得或,
令,得,所以在和上为减函数,在上为增函数.
综上所述：当时,在上为减函数,在上为增函数;
当时,在和上为减函数,在上为增函数;
当时,在上为减函数;
当时,在和上为减函数,在上为增函数.
21．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）甲选手以获胜,则前两局双方各胜一局,且第三局甲获胜.
若第一局乙选棋,则所求概率为;
若第一局甲选棋,则所求概率为.
故甲选手以获胜的概率为.
（2）由题可知,X的取值可能为2,3,
则,
.
则X的分布列为
.
22．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
所以．
则
解得,．
（2）证明：设
则．
设,则．
设,则．
当时,,
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
即在上单调递减,在上单调递增．
因为,,,
所以存在,,使得．
故当时,;当时,．
所以在与上单调递增,在上单调递减．
因为,,所以存在唯一的,使得,
所以当时,当时,,
则在与上单调递减,在与上单调递增．
故是与中的较小值．
因为,,所以恒成立,
即对任意的．恒成立．
X
1
2
3
P
n
X
1
2
3
0
P
选择甲公司购物平台
选择乙公司购物平台
合计
用户年龄段为19~24岁
30
20
50
用户年龄段为25~34岁
20
30
50
合计
50
50
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
价格x/百元
3
6
8
10
14
17
22
32
评分y
43
52
60
71
74
81
89
98
X
2
3
P