2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期5月期中数学试题含答案

2022-2023学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期5月期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据虚部的概念求解即可.

【详解】复数,

故的虚部为.

故选：B.

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数和对数函数的性质，分别求得集合，结合集合的概念及运算，即可求解.

【详解】由集合，

根据集合交集的运算，可得.

故选：A.

3．已知为等比数列，是方程的两根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据韦达定理判断、的正负，从而求出求出的正负，并求出，根据即可求出﹒

【详解】设数列的公比为，

因为是方程的两根，

所以，，

所以，，又为等比数列，

所以，，

则﹒

故选：A.

4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距的正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的和，相应的太阳天顶距为和，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】依题意可得，，利用两角和的正切公式计算可得.

【详解】由题设，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，，

所以.

故选：D．

5．已知直线平面，则“直线”是“”的（    ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断．

【详解】若直线平面， ，则直线平面或；

若直线平面，直线，则，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

6．对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：

根据表中的数据，得到销量y（单位：件）与单价x（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为1，则（    ）．

A．76 B．75 C．74 D．73

【答案】B

【分析】利用样本点处的残差为1，求得250，再由，求得，进而可得答案.

【详解】由条件知当时，，

代入，解得，于是，

又，所以，即，解得，

故选：B．

7．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数在区间上单调递减，得到不等式在恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t的取值范围.

【详解】因为函数在区间上单调递减，

所以在恒成立，

所以即解得：.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.

8．设，为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的上顶点，点B在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设及椭圆对称性，若下顶点为，则直线必过下顶点，且，进而有，设，根据向量数量关系的坐标表示求坐标，再由点在椭圆上得到参数关系，即可求离心率.

【详解】由且A为椭圆的上顶点，则，，若下顶点为，

根据椭圆对称性知：直线必过下顶点，且，故不可能为下顶点，

所以，如上图有，而，若，

则，故，即在椭圆上，

所以，可得，而，则.

故答案为：D

二、多选题

9．对于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．展开式共有8项

B．展开式中的常数项是70

C．展开式中各项系数之和为0

D．展开式中的二项式系数之和为64

【答案】BC

【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项.

【详解】的展开式共有9项，故A错误；

展开式中的常数项为，故B正确；

令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；

展开式中的二项式系数之和为，故D错误.

故选：BC

10．已知圆：与圆：外切，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径之和，从而可得答案.

【详解】圆：的圆心，半径，

圆：的圆心，半径，

因为圆：与圆：外切，

所以，即，解得或.

故选：AC.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，则

B．若随机变量，且，则

C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19

D．若，，，则事件与事件相互独立

【答案】CD

【分析】对A，根据二项分布的方差公式求解即可；对B，根据正态分布的对称性求解即可；对C，根据百分位数的定义判断即可；对D，根据对立事件的概率公式，结合事件与事件相互独立事件满足判断即可.

【详解】对A，，故A错误；

对B，若随机变量，且，则，故B错误；

对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确；

对D，，故，故事件与事件相互独立，故D正确；

故选：CD

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的单调递减区间为.

B．命题“”的否定是“”

C．已知.若p假q真，则

D．若关于的方程有一正一负两个根，则

【答案】CD

【分析】对于A，利用复合函数单调性即可；

对于B，利用命题的否定解决；

对于C，利用命题的否定，结合二次不等式恒成立和基本不等式即可；

对于D，利用二次方程根的分布即可.

【详解】对于A，由解得或，即的定义域为.

设，则它在上单调递减，

又因为在上单调递增，

根据复合函数单调性可得的单调递减区间为，所以A错误；

对于B，命题“”的否定是“”，所以B错误；

对于C，若p假，则为真，所以，解得.

若q真,则，因为，当且仅当x=1时等号成立，

所以.从而若p假q真，则，所以C正确；

对于D，若关于的方程有一正一负两个根，则，解得，所以D正确；

故选：CD

三、填空题

13．函数在取得极值，则      ．

【答案】/

【分析】由在取得极值，得，求出的导数，代入求解，再检验即可．

【详解】因为，

所以，

因为在取得极值，

所以，

解得，

所以，

当时，，当时，，

所以时取得极大值，

故答案为：．

14．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是          .

【答案】69

【分析】先求出从9个点中任取3个的全部组合数为，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即可得出答案.

【详解】从9个点中任取3个的全部组合数为，

三角形三个边上三点共线的组合数为，

所以能构成三角形的个数为.

故答案为：.

15．设随机变量的分布列，则      .

【答案】

【分析】根据分布列的性质，求得，结合，即可求解.

【详解】因为，可得，解得，

因此.

故答案为：.

四、双空题

16．若随机变量X～N(10，σ2)，P(X＞12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则m＋n＝        ，的最小值为        ．

【答案】          /

【分析】根据正态分布的对称性得到，再变换，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】随机变量X服从正态分布，，

，得，，

故，且，

故

当且仅当，即，时等号成立．

故的最小值为.

故答案为：；.

五、解答题

17．数列中，，，

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；

（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把转化为求解.

【详解】（1）因为，即，所以数列是等差数列，

所以，.

（2）令得，；

当时，；

当时，

.

综上可得，

18．如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4.

(1)兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C点测得B点的仰角为15°，在六楼A点处测得B点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；

(2)兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB=22，BC=16，求假山的高度（精确到0.1）.

附：.

【答案】(1)4.2m

(2)4.3m

【分析】（1）令假山的高度为.根据正弦定理求得，再根据即可求解；

（2）根据余弦定理求得，则，再根据即可求解.

【详解】（1）

令假山的高度为.

由题意可知，，

则，

根据正弦定理可得，，即，

所以，

而，

所以

故假山的高度大约为4.2m.

（2）根据余弦定理，可得，

则，

所以

故假山的高度大约为4.3m.

19．旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了､两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：

(1)根据收集的信息，完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对，两条路线的选择与性别有关？

(2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以各条路线得分的期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路.请用计算说明理由.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，能认为对A，两条路线的选择与性别有关.

(2)选A线路，理由见解析.

【分析】（1）先填表，利用独立性检验求解即可；

（2）的可能取值为6,9,12,15，分别求出概率，找到期望即可.

【详解】（1）补全列联表如图所示：

所以，

所以依据小概率值的独立性检验，能认为对A，两条路线的选择与性别有关.

（2）设两条线路的得分分别为，则的可能取值为6,9,12,15.

，

因为,所以选择A路线.

20．已知如图甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分别为SB，SA的中点，现在将沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.

(1)证明：平面SBC；

(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取SB的中点为N，连接MN，CN，先证MNCD为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）易得平面SBC的法向量，根据平面法向量的求法求出平面ADS的法向量，代入向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：取SB的中点为N，连接MN，CN，如图所示：

在图甲中，∵C，D分别为SB，SA上的中点，

∴，，

又∵M，N分别为SA，SB的中点，

∴，，

∴MNCD为平行四边形，∴，

又∵平面SBC，平面SBC，

∴平面SBC.

（2）∵，

∴，，，

∴平面SBC，又平面ABCD，

平面平面ABCD，

因为S点在底面的投影H在线段BC上，

∴平面ABCD，∴.

SC与平面ABCD所成角的平面角为，

，

过H作，则HP，HB，HS两两互相垂直，

以H为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，

易知为平面SBC的一个法向量；

设为平面ADS的一个法向量，

则有，

可取，

设平面ADS与平面SBC所成锐二面角的大小为，

则，

所以平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值为.

21．已知点在轴右侧，点、点的坐标分别为、，直线、的斜率之积是．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若抛物线与点的轨迹交于、两点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)直线过定点，定点为

【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点的轨迹的方程；

（2）设、，将抛物线的方程与曲线联立，列出韦达定理，求出直线的方程并化简，即可求得直线所过定点的坐标.

【详解】（1）解：设点，，

因为直线、的斜率之积是，所以，．

整理可得，因此，点的轨迹的方程为.

（2）解：设、，

由得，，可得，

由韦达定理可得，，

因为，，所以，，

因为，

所以，直线的方程为，

即，

所以，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

22．已知函数，（其中）．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围．

【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为

(2)

【分析】（1）先求导数，利用导数与函数的单调性即可求得结果；

（2）利用导数求解函数的最值，结合不等式的恒成立问题可得答案.

【详解】（1）若，则，

，

令，可得或，令，可得，

所以单调增区间为和，单调减区间为.

（2）因为对于任意，都有成立，

所以对于任意，都有成立,

即对于任意，；

因为，所以对于任意，.

设，其中，则，

因为，所以，所以，

因此在单调递增，所以，

所以，即，故的取值范围为.