2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．二项式的展开式中第5项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意写出二项式的展开式的通项，令即可求出第5项的系数.

【详解】根据题意，二项式的展开式的通项为：

，

当时，二项式的展开式中第5项的系数为：，

故选：C.

2．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率求解公式即可得解.

【详解】设第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B.

则，，

则，

故选：C.

【点睛】本题考查了条件概率公式的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.

3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ）

A．P(X＝2) B．P(X≤2)

C．P(X＝4) D．P(X≤4)

【答案】C

【解析】根据超几何分布列式求解即可．

【详解】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，

故选：C.

4．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，再令计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，解得.

故选：A

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.

【详解】因为，，，所以构造函数，

因为，由有：，

由有：，所以在上单调递减，

因为，，,

因为，所以，故A，B，D错误.

故选：C.

6．若多项式，则 （    ）

A．9 B．10 C．-9 D．-10

【答案】D

【解析】利用二项式定理的系数，先求的系数，再由，可求的系数，即可得答案．

【详解】多项式，

等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，

∴;

又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，

∴， ∴.

故选：D．

【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题．

7．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．

【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；

当时，，此时，，若，，

所以函数的图象可能是C．

故选：C

8．已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点，画出函数的图象，根据数形结合可得出答案.

【详解】函数

当时，其图象可以看成是由的图象向右平移1个单位得到的.

画出函数的图象如图所示.

函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点.

当时函数有极小值，当时函数有极大值，

所以实数a的取值范围为，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据零点个数求参数的范围，关键是数形结合思想的应用，属于中档题.

二、多选题

9．下列求导不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据基本初等函数的导数，以及导数的运算法则求导，即可得出答案.

【详解】对于A项，，故A项错误；

对于B项，，故B项错误；

对于C项，，故C项正确；

对于D项，，故D项正确.

故选：AB.

10．对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.

【详解】由，

当时，，，A选项错误；

当时，，即，C选项正确；

当时，，即，D选项正确；

，由二项式定理，，B选项正确.

故选：BCD

11．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.

【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个；

其中恰好有个二等品的基本事件有个，

恰好有个二等品的概率；

也可由对立事件计算可得.

故选：AD.

12．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB选项，根据图象的凹凸性判断CD选项.

【详解】由导函数图象可知， ，且其绝对值越来越小，

因此函数的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的图象大致如图所示．

选项A、B中，由的图象可知其割线斜率恒为负数，即与异号，故A正确，B不正确；选项C、D中，表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示和所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，

故C不正确，D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______．

【答案】

【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】因为

=，

所以，

则曲线在点处的切线斜率为，即，

又

所以所求切线的倾斜角为．

故答案为：

14．除以8，所得余数为_______.

【答案】7

【分析】由，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.

【详解】依题意，

因为56能被8整除，所以除以8，所得的余数为：.

故答案为：7.

15．已知随机变量X的分布列如下表：若随机变量Y满足，则Y的数学期望为 _____.

【答案】2

【分析】利用分布列的性质，求得，结合公式求得随机变量的期望，进而求得随机变量的期望.

【详解】由分布列的性质，可得，解得，

则，

又因为，

所以.

故答案为：2

16．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．

【答案】

【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择，

接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择，

最后涂区域⑤，有种选择，

由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种.

故答案为：.

四、解答题

17．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

(1)任取一个零件，求它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.

【答案】(1)0.0525

(2)

【分析】（1）利用全概率公式即可求得任取一个零件是次品的概率；

（2）利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率.

【详解】（1）设B=“任取一个零件是次品”，A甲=“零件为甲车床加工”，

A乙=“零件为乙车床加工”，A丙=“零件为丙车床加工”，

则，且A甲，A乙，A丙，两两互斥，

根据题意得

.           

由全概率公式得

（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”

就是计算在B发生的条件下事件A丙发生的概率.

18．已知展开式的二项式系数和为64，且．

(1)求的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由题可得，然后根据二项展开式的通项即得；

（2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得；

（3）由题可得，然后利用赋值法即得.

【详解】（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，

∴，

故展开式中第三项为：，

所以；

（2）∵，

∴第四项的二项式系数最大，     

所以展开式中二项式系数最大的项；

（3）因为，

∴，       

令，可得.

19．假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为.

（1）求的概率分布；

（2）分别求均值和方差.

【答案】（1）见解析；（2），.

【分析】（1）由题意的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，进而可得分布列；

（2）由题意结合均值公式、方差公式直接运算即可得解.

【详解】（1）由题意得的所有可能取值为1，2，3，

，，，

所以的概率分布为：

（2）由题意均值；

方差.

【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值及方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.

20．给定函数

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）画出函数的大致图象；

（3）求出方程的解的个数

【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,；

（2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个； 当时，解为个

【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.

（3）利用数形结合法即可求解.

【详解】（1）由，定义域为

，

令，即，

令，即，

令，即，

所以函数的单调递增区间为；

单调递减区间为，为极小值点，

所以函数的极小值为.

（2）函数的大致图象，如图所示：

（3）方程解的个数等价于于的交点个数.

作出与的图象，

由图可知当时，方程的解为个；

当或时，方程的解为个；

当时，方程的解为个；

21．已知函数，，

若，求函数的极值；

设函数，求函数的单调区间．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【分析】（1）的定义域为，当时，，利用导数研究函数的极值可知在处取得极小值1．函数没有极大值．

（2）由函数的解析式可知，，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增．

【详解】（1）的定义域为，

当时，，，

所以在处取得极小值1,函数没有极大值．

（2），

，

①当时，即时，

在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当，即时，在上，

所以函数在上单调递增．

【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．

(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

22．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析

【详解】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则

．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．

（2）的可能取值为0，2，4，6，8，

，

，，

分布列如下表：

数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=

【解析】离散型随机变量的分布列及概率．