2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算法则计算即可.

【详解】.

故选：C.

2．若函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先求出，再将代入即可得到答案.

【详解】，则.

故选：C

3．余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理

A．结论不正确 B．大前提不正确

C．小前提不正确 D．全不正确

【答案】C

【分析】分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案.

【详解】大前提：余弦函数是偶函数，这是正确的；

小前提：是余弦函数.我们把叫余弦函数，函数是余弦函数复合一个二次函数，故小前提不正确；

结论：是偶函数.

,所以结论正确，故本题选C.

【点睛】本题考查了判断三段论推理中每段推理的正确性，解题的关键是对偶函数的正确理解.

4．函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导函数大于0时,原函数递增的性质,结合图象即可得出结论.

【详解】因为导函数大于0时,原函数递增,

根据图象可知,当或时,,

所以的单调递增区间为,

故选:D.

【点睛】本题考查利用导函数图象判断原函数单调性,属于简单题.

5．若复数，则

A． B． C．4 D．2018

【答案】A

【分析】根据复数除法的运算法则和的幂运算性质，化简复数，最后根据复数模的公式，求出.

【详解】，

，故本题选A.

【点睛】本题考查了复数的除法运算、的幂运算性质、复数求模公式，考查了数学运算能力.

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用定积分的几何意义将转化为求圆的面积问题即可.

【详解】表示的是圆的上半部分与直线与及x轴围成的图形的面积,

即圆的面积的,

所以,

故选:B.

【点睛】本题考查定积分的几何意义的应用,难度不大.

7．已知是函数的极值点，则

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可

【详解】，由，得.又，当x> 0<x<故是函数的极值点，故成立

故选B

【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题

8．函数的最大值为（    ）

A．a B． C． D．

【答案】D

【分析】先对函数求导,再利用导数研究的单调性,从而求出其最大值.

【详解】,则,

所以当时,,当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减,

所以,

故选:D.

【点睛】本题考查利用导数求函数最值,难度不大.

9．已知复数满足，为实数，且，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一或二象限 B．第二或三象限 C．第三或四象限 D．第一或四象限

【答案】D

【分析】把代入中化简，然后列方程可求得的值，从而可得答案

【详解】.因为为实数，且，

所以，又，解得.

所以在复平面内对应的点位于第一或四象限，

故选：D

【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题

10．观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为（    ）

A．49 B．43 C．07 D．01

【答案】C

【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.

【详解】观察，，，，，…，可知末两位每4个式子一个循环，到一共有1008个式子，且，则的末两位数字与的末两位数字相同，为07.

故选：C.

【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.

11．已知函数在上不单调，则m的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导，函数不单调，解得答案.

【详解】.

因为在上不单调，所以，故.

故答案为A

【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.

12．对任意的实数，关于的方程都有两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将方程变形为，采用换元法将问题变为与有两个不同的交点的问题；结合导数可得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由得：，.

令，则，

原方程有两个不同的实根，等价于与有两个不同的交点.

，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

又当时，；当时，，由此可得图象如下图所示：

当时，与有两个不同的交点，

即当时，方程有两个不同的实根.

故选：.

【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果.

二、填空题

13．已知复数，且，则      .

【答案】

【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求出复数，进而可.

【详解】，，，，.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数模计算，比较基础.

14．函数的最大值为    ．

【答案】1

【分析】先写出函数的定义域，利用导数得到函数的单调区间，由单调性即可得函数最值.

【详解】函数f(x)的定义域为，对函数求导得，

=0，x=1,

当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，

则当x=1时函数f(x)取得最大值为f(1)=1,

故答案为1

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题.

15．若，则函数的图象在处的切线方程为        ．

【答案】（或）

【分析】先求出,再对求导,从而得到切线斜率,求出切线方程.

【详解】,

所以,,故,

又,则切线方程为,即,

故答案为:.

【点睛】本题主要考查求曲线上某点处的切线方程,难度不大.

16．已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出      .

【答案】

【分析】根据提供的前4项，观察规律归纳可得通项公式.

【详解】，，，

，

根据通项的规律可以归纳得出.

故答案为：

三、解答题

17．已知，复数是虚数单位.

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；

（2）利用复数的几何意义列不等式组求解.

【详解】（1）因为是纯虚数，

所以

解得；

（2）在复平面内对应的点为，

由题意可得

解得，即的取值范围是.

18．设函数．

（1）若在处取得极值，求a的值；

（2）若在上单调递减，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;

(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.

【详解】(1),则,

因为在处取得极值,

所以,解得,

经检验,当时,在处取得极值;

(2)因为在上单调递减,

所以对恒成立,

则对恒成立,

∵当时,,

∴,即a的取值范围为.

【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参,需要学生对相关基础知识牢固掌握且灵活运用.

19．已知函数.

(1)求的极小值；

(2)讨论关于的方程的解的个数.

【答案】(1)极小值为

(2)答案见解析

【分析】（1）的定义域为，.令，得，列表可得当时，，随的变化的情况，进而可得答案；

（2）令，，两函数图象交点的横坐标是的解，作出函数草图，由此能判断关于x的方程m∈R）的解的个数．

【详解】（1）的定义域为，.令，得，

当时，，随的变化的情况如下：

所以在上的极小值是.

（2）当，单调递减且的取值范围是；

当时，单调递增且的取值范围是.

令，，两函数图象交点的横坐标是的解，

由（1）知当时，原方程无解.

由的单调区间上函数值的范围知，当或时，原方程有唯一解；

当时，原方程有两解.

20．设，其中n为正整数．

(1)求，，的值；

(2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

【答案】(1)，，

(2)，证明见解析

【分析】（1）直接根据，代入相应的值即可；

（2）由（1）中，猜想：时，，再用数学归纳法证明：当是，猜想正确，假设当时，猜想正确，得出，再结合，得出，猜想成立，则由数学归纳法可知，猜想成立．

【详解】（1），，．

（2）猜想：时，，

证明：①当时，成立，

②假设当时，猜想正确，

即，

∴，

，

，

即成立，

由①②可知，对于时，成立．

21．设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；

（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.

【详解】（1）由题意得：，

当时，，在上单调递增；

当时，令得：.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，

当时，，，此时，不合题意；

当时，恒成立，满足题意.

当时，在处取最小值，且，

令，解得：，此时恒成立.

综上所述：的取值范围为.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.

22．设函数，.

（1）证明：.

（2）若恒成立，求的取值范围；

（3）证明：当时，.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【分析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可

【详解】（1）证明：令函数，，

，

所以为单调递增函数，，

故.

（2），即为，

令，即恒成立，

，

令，即，得.

当，即时，在上单调递增，

，

所以当时，在上恒成立；

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以不恒成立.

综上所述：的取值范围为.

（3）证明：由（1）知，

令，，，

，即，

故有，

，

…

，

上述各式相加可得.

因为，

，，

所以.

【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题