2022-2023学年陕西省咸阳市旬邑县中学高二下学期期中数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省咸阳市旬邑县中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数除法运算法则和的幂运算的周期性直接求解即可.

【详解】.

故选：B.

2．用反证法证明命题：“若正整数满足，则中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（    ）

A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数

C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数

【答案】B

【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.

【详解】“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，

假设正确的是：假设都不是偶数.

故选：B.

3．观察下列的图形中小正方形的个数，则第个图中有___个小正方形，第个图中有___个小正方形（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据图形中小正方形个数变化规律，结合等差数列求和公式可求得结果.

【详解】设小正方形的个数构成的数列为，

由图形可知：，，，，以此类推，

，，

即第个图中有个小正方形，第个图中有个小正方形.

故选：B.

4．设函数可导，则等于（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据导数的定义，即可求出结果.

【详解】．

故选:A.

5．曲线在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，利用导数的几何意义求在点处的切线的斜率，进而求出切线方程.

【详解】，，

当时，，

在点处的切线方程为：，

即：.

故选：A.

6．函数的单调减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间．

【详解】解：，

，

令由图得：，

函数的单调减区间是，

故选：．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于基础题．

7．由曲线，直线，所围成封闭的平面图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别由和求得交点，画出图形，用定积分求解.

【详解】由解得 或，

由解得，

如图所示：

所以由曲线，直线，所围成的封闭平面图形的面积为.

故选：C.

8．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答．

【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C

由求导得，

当或时，，

当时，，

于是得在和上都单调递增，在上单调递减，

所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．

故选：B

9．设直线方程，从中每次取两个不同的数作为的值，则所得不同直线的条数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用任取个不同的数字作为的所有情况，减掉重复直线的条数即可得到结果.

【详解】从个数字中任取个不同的数字作为，共有种情况；

当时，对应的直线相同，则有条重复直线；

当时，对应的直线相同，则有条重复直线；

当或时，对应的直线相同，则有条重复直线；

不同直线的条数为.

故选：B.

10．现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ）

A．12 B．14 C．18 D．22

【答案】D

【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可.

【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种；

若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种；

若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种，

故总共有12+8+2=22种.

故选：D

11．函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】原不等式等价于或,然后根据图象分段考察导数的正负区间，即可求得答案.

【详解】不等式等价于或,

由函数的图象可知，在时，函数的单调递减区间为的解集为,

在时，的对应区间为,

∴的解集为，的解集为

不等式的解集为，

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与函数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象观察导数为正值和负值的区间，体现了数形结合思想.

12．已知函数的导函数为，对任意，都有成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性即可得解.

【详解】令，则，

所以为上的单调递减函数，

所以，即，化简可得，

故选：C

二、填空题

13．的值等于____________．

【答案】

【分析】根据定积分的几何意义进行求解即可.

【详解】表示由曲线与直线，轴围成的封闭图形的面积，

即半圆在第一象限内的面积，，

所以该半圆的半径为，所以有，即，

故答案为：

14．如果复数z满足，那么的最大值是______.

【答案】/

【分析】根据复数模的几何意义求解．

【详解】记复平面上数对应点，复数对应点为，复数对应点为，则在以为圆心，1为半径的圆上，，点在圆外，

当点是直线与圆的交点（在之间）时（如图），取得最大值．

故答案为：．

15．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.

【详解】，

因为在上是减函数，

所以在上恒成立，

即，

当时，的最小值为，所以，

故答案为：

16．设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和=___________．

【答案】.

【分析】由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化．

【详解】根据等边三角形面积公式 ，因为

点到三边的距离分别为，所以

即

正四面体的体积为

点到四个面的距离为，所以

所以

【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．

三、解答题

17．求下列函数的导数.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】根据导数四则运算法则和复合函数求导法则直接求解即可.

【详解】（1）.

（2）.

18．现有9名学生，其中女生4名，男生5名.

（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？

（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？

【答案】（1）26；（2）60；（3）2184

【分析】（1）采用间接法；

（2）采用直接法；

（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可.

【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，

所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.

（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.  

（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，

将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，

故共有种安排方法.

【点睛】本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题.

19．已知数列的前项和.

（1）计算，，，，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1），，，，猜想；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用递推公式依次求出结果并根据所求结果猜想即可；

（2）根据数学归纳法，先证时，然后②假设(且)时，猜想成立，证得时，成立即可.

【详解】解：（1）当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴.

由此猜想.

（2）证明：①当时，，猜想成立.

②假设(且)时，猜想成立，即，

那么时，，

∴.

∴当时，猜想成立.

由①②知猜想成立.

20．设函数.

(1)对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利用二次函数性质，求的最小值即可；

（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．

【详解】（1）解：已知函数，，则，

因为对于任意实数x，恒成立，则，

对称轴，所以，

可得，即的最大值为.

（2）（2）令，即，解得或，

当时，；当时，；当时，.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，取极大值；当时，取极小值，

故当或时，方程仅有一个实根，

解得或，所以a的取值范围为.

21．某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求函数的解析式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)4千克，370元

【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本，即可写出函数关系式；

(2)分段求出函数的最大值，比较大小，即可确定最大利润.

【详解】（1）当时，，

当时，，

所以.

（2）当时，，

在单调递减，在单调递增，

则当时，取到最大值为360.

当时，.

因为，所以，

当且仅当，即时，取到最大值为370，

因为，

所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370元.

22．已知函数.

(1)若是的极值点，求的值及的单调区间；

(2)当时，证明：.

【答案】(1)；单调递减区间为；单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，由可得，代回验证可得到单调性，知满足题意，并可确定单调区间；

（2）由可构造函数，求导后，结合零点存在定理可说明单调性，并求得，结合的范围可得到，结合可得结论.

【详解】（1），是的极值点，，解得：；

当时，定义域为，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，又，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

是的极小值点，满足题意；

的单调递减区间为；单调递增区间为.

（2）当，时，，

；

令，则定义域为，；

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增；

，，

，使得，即，，

且当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，

，，，则，

，，

即当时，.

23．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

【详解】（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（2）［方法一］：【通性通法】消元

由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.

［方法二］：【通性通法】消元

由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．

欲证不等式成立，只需证．

因为，所以，只需证．

令，

所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．

［方法三］：硬算

因为，

所以有两个相异的正根（不妨设）．

则且即．

所以．

而，，所以．

设，则．

所以在上递减，，问题得证．

［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用

由（1）知，存在两个极值点当且仅当．

由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．

由对数平均不等式可得，即．

故．

【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；

方法二：同方法一，只是消元字母不一样；

方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；

方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．