2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数的运算法则，化简复数，得到复数对应的点为，即可求解.

【详解】由题意，复数，

可得复数对应的点为，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

2．已知向量，，若与的夹角为，则为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据已知条件利用数量积的定义求解即可.

【详解】因为向量，，若与的夹角为，

所以，

故选：B.

3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】由已知结合正弦定理即可直接求解．

【详解】A＝60°，a，

由正弦定理可得，2，

∴b＝2sinB，c＝2sinC，

则2．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．

4．已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出原图和直观图，然后求面积.

【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.

故选：D.

【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.

5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.

【详解】在方向上的投影向量为

故选：C.

6．已知满足，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出的形状为等腰三角形.

【详解】，则，

由正弦定理可得，

则，即，

即，所以，的形状为等腰三角形，

故选：C.

7．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.

【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，

根据圆柱和球的对称性可得，

所以圆柱的表面积.

故选：D

8．海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（    ）

A． B．

C． D．12

【答案】C

【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.

【详解】在中，因为，

由正弦定理可得：，

设，，，且，

∴，解得，

即，，，且，

∴

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.

二、多选题

9．在中，，，，则角的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.

【详解】由余弦定理，得，

即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以；

当时，，此时为直角三角形，所以.

故选：AD

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

10．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（    ）

A． B．

C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】BD

【分析】化简复数，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数，则，

其中复数的虚部为.

故选：BD.

11．下列命题中成立的是（    ）

A．，

B．，且

C．，，且，

D．，

【答案】BCD

【分析】利用平面的公理直接判断求解．

【详解】对于A：若，，则或与异面、或与相交，故A错误；

对于B：由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，

因为，且，则，故B正确；

对于C：由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，

因为，，且，，则，故C正确；

对于D：由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，

因为，，则，故D正确.

故选：BCD

12．下列命题中，正确的是（    ）

A．在中，，

B．在锐角中，不等式恒成立

C．在中，若，则必是等腰直角三角形

D．在中，若，，则必是等边三角形

【答案】ABD

【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.

【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；

对于，在锐角中，，，

，，

，因此不等式恒成立，正确；

对于，在中，由，利用正弦定理可得：，

，

，，

或，

或，

是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.

对于，由于，，由余弦定理可得：，

可得，解得，可得，故正确.

故选：.

【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

三、填空题

13．设向量，若，则______________.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

14．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为______.

【答案】

【分析】首先求出和的坐标，从而求出的坐标，即可得解.

【详解】因为复数与所对应的向量分别为和，

所以，，

所以，即对应的复数为.

故答案为：

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______

【答案】

【解析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.

【详解】，，

，由可得，

又，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.

四、双空题

16．已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.

【答案】         

【解析】画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.

【详解】由题意，三棱锥如图所示：

取的中点，连接、，

由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，

连接，则即为该三棱锥的高，即，

所以，

又，所以，

所以，

又，

所以三棱锥的表面积；

所以该三棱锥的体积,

当球与三棱锥内切时，体积最大，

设三棱锥的内切球的半径为，

则，解得，

则.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

五、解答题

17．已知复数．当实数取什么值时，复数是：

(1)虚数；

(2)纯虚数．

【答案】(1)且

(2)

【分析】（1）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得解；

（2）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.

【详解】（1）

∵，∴，．

当复数为虚数时，，且，

故当实数且时，复数为虚数．

（2）当复数为纯虚数时，，解得，

故当时，复数为纯虚数．

18．如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF

(1)证明:AF//平面BDG

(2)证明:AB//EF

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

【分析】（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG；

（2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF.

【详解】（1）连接AC交BD于O,连接OG.

因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.

又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.

因为面,面,所以AF//平面BDG.

（2）因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.

因为面,面,所以AB//平面.

因为面,面面=EF.

所以AB//EF.

19．已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调增区间即可；

（2）求出角，利用正弦定理得C角和B角，再由计算即可.

【详解】（1），

由，得，；

故f（x）在，上单调递增.

（2），则 ，

∵，∴，即，

由正弦定理得，，即，解得 ，∴或，

当时，，舍去，所以，故，

∴.

20．如图，在三棱锥中，是高，，，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求三棱锥的表面积.

【答案】（1）2（2）

【解析】（1）由体积公式直接计算；

（2）题中有两两垂直，面积易得，然后求出三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得面积．

【详解】解：（1）因为是高，，，，

所以；

（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，

，，，

所以，

，

是等腰三角形，，，

所以，

所以三棱锥的表面积为.

【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积．属于基础题．

21．如图，在中，，，，，.

（1）求的长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；

（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．

【详解】（1），，，

，，，.

；

（2），，

，

.

【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.

22．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角对边分别为，而且_____．

（I）求；

（Ⅱ）求面积的最大值．

【答案】（I）；（Ⅱ）

【分析】（I）选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；

选②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围即可求得；

（Ⅱ）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC面积的最大值．

【详解】解：（I）选①，∵a，

∴，

∵sinA≠0，

∴，即，

又0＜C＜π，

∴，故，即；

选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，

∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴，

∵0＜C＜π，

∴；

（Ⅱ）由（I）可知，，

在△ABC中，由余弦定理得，即，

∴

∴，当且仅当那个a＝b时取等号，

∴，即△ABC面积的最大值为．