2024届陕西省咸阳市永寿县中学高三上学期第二次考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省咸阳市永寿县中学高三上学期第二次考试数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，进而求出交集.
【详解】易知，则.
故选：C
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用复数的运算法则即可.
【详解】.
故选:A.
3．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】直接利用全称命题的否定形式判定选项即可.
【详解】由全称命题的否定形式可知：命题“，”的否定为“，”.
故选：B
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【详解】∵，∴，
则，
故选：C
5．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性，对数运算法则和中间值比较大小.
【详解】，，，
且，
故.
故选：A
6．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以根据复合命题的真值表得A、B、C均为假命题，故选D．
【解析】本题考查复合命题真假的判断．
点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．
7．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，又，所以，解得，
因为，所以时，取得最小值，最小值为8.
故选：D
8．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当时，单调递增，
故，解得；
②当时，单调递减，
，无解，
综上可知.
故选：B
9．在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，.已知，且，则的值为（ ）
A．16B．18C．20D．24
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理及余弦定理化简求值即可.
【详解】因为向量，，，
所以，由正弦定理及可知，，
由余弦定理可得，则.
故选：D.
10．已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出，再由，计算出.
【详解】，切点为，
则切线方程为，
因为过原点，所以，解得，则，
由，可得，
故.
故选：B
11．已知幂函数在区间上单调递增，曲线在点处的切线与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点，若的面积为2，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义及性质求出，再利用导数的几何意义求出切线方程，借助三角形面积求解即得.
【详解】依题意，，解得或，
当时，，函数在上单调递减，不合题意；
当时，，函数在上单调递增，符合题意，
于是，求导得，设点的坐标为，
曲线在点处的切线方程为，整理为，
该切线在、轴上的截距分别为，，则有，
解得，所以点的坐标为.
故选：B
12．已知，，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用二倍角公式、三角函数单调性、和角公式、差角公式运算分析判断即可得解.
【详解】解：∵，∴，
∴，所以；
∵，∴，即，，
∴
，
所以.
故选：B.
二、填空题
13．已知，，则向量，的夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】.
故答案为：
14．在有一个内角为的中，三边长分别为x，，，则的面积为 .
【答案】
【解析】根据题意，利用余弦定理得到，求得的值，结合面积公式，即可求解.
【详解】由中，三边长分别为x，，，可得，
又由一个内角为，根据余弦定理可得，解得，所以的面积为.
故答案为：
15．已知定义在R上的奇函数的周期为3，且满足，记集合，则A＝ ．
【答案】
【分析】由函数的周期性及奇偶性计算函数值．对分组求和可得．
【详解】由，可得，又周期为3，所以，，
又，所以的所有可能取值为，，．
故答案为：．
16．若（且）恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】讨论，结合图象可得不可能恒成立；时，运用换底公式原不等式化为，令，求得导数和单调性、最大值，可得的范围.
【详解】解：当时，由和的图象可得，
此时两个函数图象有一个交点，不等式不可能恒成立；
当时，，不等式可化为，
由，令，，
当时，，递增，当时，，递减，
则，则，可得，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.
三、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求A；
(2)若，求a的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可.
【详解】（1）
，即，
即；
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
18．已知函数在区间上的值域为.
（1）求实数、的值；
（2）若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；
（2）分析可知有两个零点，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1），
令可得或，令可得，
可得函数的增区间为、，减区间为，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，，①
又由，
可得，可得，有，
又由，
可得，有，可化为，②
解方程①②可得；
（2）由（1）有，有，
若函数有且仅有两个极值点，必有，可得.
19．已知函数在区间上单调，其中，，且．
(1)求的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.
（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.
【详解】（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
20．已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由及联立方程组可解得，代入函数式检验函数为奇函数即得；
（2）把作为一个整体求解不等式得后可得结论．
【详解】解：（1）由题意可知，，
整理得，
又由，即，
整理得，
即，
解得，所以，
当时，经检验，恒成立，所以；
（2）由（1）可知，，
不等式时化为
有
有，得
故不等式的解集为．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查解指数不等式．由奇偶性求参数，一种方法可根据奇偶性的定义，利用恒等式的知识求解，另一种方法可利用特殊值求得参数值，然后代入检验．解含有指数函数的不等式时是把作为一个整体（可换元），同理注意，然后求解即可得．
21．已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)a＝0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数，由求得a，再验证即可；
（2）利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；
（3）先证得函数在R上单调递增，将不等式转化为，进而得到求解.
【详解】（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，
有，可得a＝0，
当a＝0时，由，，
，
此时为奇函数，
又由，
可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0；
（2）证明：由（1）有，
①若，令
则，
因为，
所以，
则，即，
所以在上递增，
又在上递增，
由复合函数的单调性得函数在上单调递增，
②若，由函数为奇函数，得
，即
③若，则由①②得
综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增；
（3）由，
可得函数为奇函数．
又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，
Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，
Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），
故有；
Ⅲ．若，不等式可化为，
又由（当且仅当x＝－3时取等号），
故有，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，
由①②可知，实数m的取值范围为．
22．设函数，其中是自然对数的底数，.
(1)若，求的最小值；
(2)若，证明：恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，，求出，可得答案；
（2）设， ， ，，，设，求出利用单调性可得答案.
【详解】（1）当时，，
则，
所以单调递增，又，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以.
（2）设，
若，则，
若，则，
设，
则，所以单调递增，又，
当时，，上单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，
综上，恒成立.
【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力.