2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二下学期期中检测数学试题含答案

2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二下学期期中检测数学试题

一、单选题

1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（    ）

A．1，，，，… B．，，，

C．，，，，… D．1，，，…，

【答案】C

【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断．

【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．

故选：C．

2．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D.

3．已知等比数列中，，，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．36

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出.

【详解】等比数列中，，，

，解得，故.

故选：B．

4．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.

【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，

即，，，

又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，

故.

故选：A.

5．等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．1 B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的求和公式计算

【详解】因为，所以．

故选：B

6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.

【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，

故选：D.

7．已知等比数列的前项和为，，且，则（    ）

A．40 B．120 C．121 D．363

【答案】C

【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.

【详解】设公比为，由，可得，

所以，所以，

由，可得，即，所以，

所以.

故选：C.

8．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.

【详解】，

因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，

所以即，

故选：A.

二、多选题

9．下列有关数列的说法正确的是（    ）

A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列

B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项

C．在数列中,第8个数是

D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为

【答案】BCD

【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.

【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,

所以两个数列不是同一个,故选项A错误;

当时,解得:或(舍),

即110是该数列的第10项,故选项B正确;

因为数列可写为:,

所以第8个数是,故选项C正确;

因为

所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.

故选：BCD

10．若函数导函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．是的一个极大值点

B．是的一个极小值点

C．是的一个极大值点

D．是的一个极小值点

【答案】AB

【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.

【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确.

对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B正确.

对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C错误.

对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D错误.

故选：AB.

11．下列结论中不正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据导数运算法则逐一验证即可

【详解】A：，A错误

B：，B错误

C：，C正确

D：，D错误

故选：ABD

12．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．是递减数列

B．

C．当时，

D．当或4时，取得最大值

【答案】ACD

【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A正确；

，故B错误；

当时，，故C正确；

因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．设函数，若，则        ．

【答案】1

【分析】求导，由列出方程，求出答案.

【详解】由题意知，由，解得．

故答案为：1

14．若数列是等比数列，且，则          ．

【答案】4

【分析】根据等比数列的性质求解即可．

【详解】根据等比数列的性质，有，

则，解得，

所以．

故答案为：4．

15．的单调递减区间为          ．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，令，解一元二次不等式，即可求出函数的单调递减区间；

【详解】解：因为，所以，

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为；

故答案为：

16．已知等差数列，，则的值为           .

【答案】24

【分析】利用等差数列的前项和公式的性质求解即可

【详解】在等差数列中，由等差数列的前项和公式的性质得：

成等差数列

所以有

又

所以

所以

故答案为：24.

四、解答题

17．已知数列为等差数列．

(1)，，求；

(2)若，求．

【答案】(1)11

(2)

【分析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；(2)根据等差数列的性质和前项和公式求解.

【详解】（1）设公差为，

由，解得，所以，

（2）因为，所以.

18．求下列函数的导数.

(1)y＝x2sin x；

(2)y＝ln x＋；

(3)y＝sin ；

(4)y＝ln(2x－5).

【答案】（1）y′＝2xsin x＋x2cos x； （2）y′＝； （3）y′＝2cos； （4）y′＝.

【分析】（1）利用导数的乘法运算法则求解即可；

（2）利用导数的加法运算法则求解即可；

（3）利用复合函数的求导法则求解即可；

（4）利用复合函数的求导法则求解即可.

【详解】(1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝.

(3)设u＝2x＋，则y＝sin u，

则y′＝(sin u)′·u′＝cos·2，

∴y′＝2cos.

(4)令u＝2x－5，则y＝ln u，

则y′＝(ln u)′·u′＝，即y′＝.

【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间与极值．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为.

【分析】（1）求出即可得到答案；

（2）利用导数求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

因此曲线在点处的切线的斜率为1，切线方程为．

（2）令，解得：或2．

所以在、上是减函数，在上是增函数．

因此函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．

综上：的单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为．

20．在等比数列{an}中，

(1)已知，求前4项和；

(2)已知公比，前5项和，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；

（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.

【详解】（1）设公比为，由，

得，所以，

所以；

（2）由，得，

所以.

21．已知函数，在处取得极值

(1)求，的值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）对函数求导，根据求出参数，的值；

（2）由（1）可得，研究其在上的符号，进而确定的单调性，再求出闭区间上的最值.

【详解】（1）由题设，，又处取得极值

所以，可得.经检验，满足题意.

（2）由（1）知：，

在上，递增；在上，递减；

在上的最大值为，

而，，故在上的最小值为，

综上，上最大值为，最小值为.

22．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；

（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．

【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，

由题意，有，解得，

所以；

（2）解：，所以．