2022-2023学年河南省开封市第七中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河南省开封市第七中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列求导运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则判断.

【详解】由基本初等函数的导数公式和导数的运算知：，，，，只有D正确．

故选：D．

2．曲线的图像在处切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角.

【详解】因为，所以，所以，

所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为.

故选：D.

3．将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排列个数为（    ）

A．10 B．15 C．21 D．25

【答案】B

【分析】用插空法．即把2个0插入5个1之间的空档中．

【详解】要使2个0不相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放0，故排放方法有种．

故选：B．

4．的展开式中的系数是（    ）

A．9 B．-9 C．10 D．-10

【答案】B

【分析】，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数之和.

【详解】由于，

所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，

分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，

因此的展开式中的系数是.

故选：B.

5．从4名男生、5名女生中选3名组成一个学习小组，要求其中男女生都有，则组成学习小组的不同方案共有（    ）种

A．70 B．140 C．210 D．280

【答案】A

【分析】根据组合知识，从9人中任选3人扣除均为男生或均为女生，或对男生的人数分类，即可求解.

【详解】从4名男生、5名女生中选3名组成一个学习小组有，

3名全为男生有，全为女生由，

要求其中男女生都有的不同方案有.

故选:A.

【点睛】本题考查组合应用问题，注意间接法的应用，属于基础题.

6．设等差数列的前项和分别是，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列前n项和公式及求解.

【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，

所以.

故选：B

7．若函数存在极值点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】通过研究的导函数零点，结合判别式，求得的取值范围.

【详解】依题意函数存在极值点，其导函数的，解得或.

故选：A

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数的判别式的运用，属于基础题.

8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A．8 B．7 C．6 D．4

【答案】A

【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求.

【详解】已知为等比数列，，且，

所以，则S3＝8．

故选：A．

9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.

【详解】，因为在区间上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上

所以的最小值为1，所以.

故选：B.

10．盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为，

则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B，

则，，，，，，

，

故选：.

11．定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，求出导函数，即可得到的单调性，则问题转化为，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】令，则，

所以在定义域上单调递增，

不等式，即，即，

所以，解得，即不等式的解集为.

故选：C

12．已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据与的关系结合等比数列的概念可得，进而可得，然后结合条件可得，然后分类讨论即得.

【详解】因为，

当时，，解得，

当时，，则，

即，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，则，又，

所以为首项为2，公差为1的等差数列，

则，则，

所以，又，

则，又，

所以，

当n为奇数时，，而，则，解得；

当n为偶数时，，而，则；

综上所述，实数的取值范围为.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结合数列不等式恒成立问题即得.

二、填空题

13．的展开式各项系数的和是，则          .

【答案】

【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.

【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是，

故答案为：

14．浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌､跳舞､小品､相声､朗诵､游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有           种（结果用数字作答）

【答案】

【分析】根据唱歌和跳舞相邻和游戏不安排在第一个，先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，然后将游戏进行插空即可求解.

【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，

然后将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，

由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，

故答案为：.

15．设数列满足，且，则数列的通项公式为      .

【答案】

【分析】构造为等比数列，运用等比数列通项公式运算即可.

【详解】∵（），

∴（），易知，，

∴为等比数列，首项为，公比，

∴，∴.

故答案为：.

16．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是，将正常者判为阳性的概率是．专家预测，某小区有的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是               ．

【答案】

【分析】结合条件概率的定义求解．在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和．

【详解】由题意知，某小区感染了该病的人有，未感染的人有，

该试剂将感染者判为阳性的概率是，则试剂将感染者判为阴性的概率是，

将正常者判为阳性的概率是，则将正常者判为阴性的概率是，

则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为．

故答案为：．

三、解答题

17．某学习小组有4名男生和3名女生共7人．

(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？

(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用捆绑法求解；

（2）先分别选出2名男生和女生，再全排列求解.

【详解】（1）解：因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列，

再将4个男生全排列，

然后由分步计数原理得：种不同的站法．

（2）选出2名男生有种选法，

选出2名女生有种选法，然后全排列有种排法，

再利用分步计数原理得：种不同的选派方法．

18．已知二项式的展开式中各项系数之和为256．求：

(1)的值；

(2)展开式中项的系数；

(3)展开式中所有含的有理项．

【答案】(1)4

(2)54

(3)第1项，第3项，第5项

【分析】（1）在二项式中令得所有项系数和，解方程即可得；

（2）利用二项展开式的通项公式，即得；

（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求．

【详解】（1）在的展开式中令，得，∴．

（2）设展开式的第项为（且）．

令，得，

则含项的系数为．

（3）由（2）可知，令，则有，

所以含的有理项为第1项，第3项，第5项．

19．已知等差数列的前项和．

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前项和；

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据作差计算可得；

（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.

【详解】（1）因为，

当时，，

当时，，

所以．

显然当时，依然成立，

∴数列的通项公式为．

（2）由（1）知，

则，，

所以，

所以．

20．已知函数，其图象在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)求函数的单调区间和极值；

【答案】(1)；

(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；

【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得；

（2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；

【详解】（1），

，

又图象在点处的切线方程为，

所以，解得；

（2）由（1）得，

或时，，时，，

所以的增区间是和，减区间是，

极大值是，极小值是；

21．已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.

(1)求与通项公式；

(2)设，求的前n项和.

【答案】(1)，，

(2)，

【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；

（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.

【详解】（1）设的公差为d，因为，，

所以，解得，从而，

所以；

设的公比为q，因为，所以，解得，

因为，所以，

所以 .

（2）由上可知：，所以，

所以，

所以，.

22．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出，分、讨论可得的单调区间；

（2），由得，不等式等价于，令，利用导数判断的单调性，即可得出结论.

【详解】（1），

，

当时，，所以函数在上递增，

当时，时，单调递减，

时，单调递增，

综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；

当时，的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由（1）知，当时，，且，

所以，

因为，所以不等式等价于，

令，则在时恒成立，

所以函数在上递增，

所以当时，，

又，则，所以，

故，即.

【点睛】方法总结：利用导数证明不等式问题的求解策略

（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.