2021-2022学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 以、两点为直径的圆的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 双曲线的渐近线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的焦准距是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 椭圆的焦距为，则的值等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知直线与圆相切，则实数的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知曲线：，则(    )

A. 时，则的焦点是，
B. 当时，则的渐近线方程为
C. 当表示双曲线时，则的取值范围为
D. 存在，使表示圆

11. 已知圆：和圆：则(    )

A. 两圆相交 B. 公共弦长为
C. 两圆相离 D. 公切线长

12. 已知直线与直线垂直，则实数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若双曲线的虚轴长为，则实数的值为______．
14. 直线：与：间的距离为______．
15. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则          ．
16. 过点作圆：的切线，则切线的方程为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 若抛物线与椭圆有一个共同的焦点，求的值．
18. 平面内，动点与两个定点，的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
    Ⅰ求曲线的方程；
    Ⅱ若直线：与曲线交于，两点，求线段的长．
19. 已知空间三点，，，设，，
    求和夹角的余弦值；
    设，，求的坐标．
20. 已知椭圆：的离心率为，且．
    求椭圆的方程；
    是否存在实数，使得直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在正方体中，为的中点．
    求证：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

22. 设椭圆：过点，离心率为．
    求椭圆的方程；
    过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得圆的直径，所以圆的半径为，
故选：．
由两点间的距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径．
本题考查圆的半径的求法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由双曲线，得，，
双曲线的渐近线方程是，
故选：．
由双曲线方程求得与的值，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由抛物线，得，即．
抛物线的焦准距是．
故选：．
直接由抛物线的标准方程求解得答案．
本题考查抛物线的标准方程与几何性质，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：．
顶点到准线的距离为，
，
，
所求抛物线方程为．
故选：．
根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：，利用顶点到准线的距离为，即可求得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是定型与定量，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由直线：，可知直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，，
则，解得，
所求直线的倾斜角是直线：的倾斜角的两倍，
所求直线的倾斜角为，
又所求直线过点，
所求直线方程为．
故选：．
根据已知条件，先求出直线的倾斜角，得到所求直线的倾斜角，再结合该直线过点，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：已知向量，，
若，则，
则，
整理得．
故选：．
直接利用向量共线的坐标运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题．
由向量，，求得与的坐标，代入数量积的坐标表示求得值．
【解答】

解：，，
，
，
又与互相垂直，
，解得：．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：椭圆的焦距为，
可得或，解得或．
故选：．
利用椭圆的焦距，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径为，
若直线与圆相切，必有，
解可得：或；
故选：．
根据题意，分析圆的圆心和半径，由直线与圆相切的性质可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，注意圆的标准方程和一般方程，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：时，曲线：，则的焦点是，，所以A正确；
当时，曲线：，则的渐近线方程为，所以B正确；
当表示双曲线时，可得：，解得或，所以不正确；
，解得，所以存在，使表示圆，所以D正确；
故选：．
通过的值或范围，判断曲线的形状，转化求解即可．
本题考查曲线与方程的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆：，即，其圆心，半径，
圆：，即，其圆心，半径，
两圆的圆心距，
则有，故两圆相交，A正确，C错误；
对于，联立两圆方程，有，变形可得，即公共弦所在直线的方程为，
到的距离，
则公共弦长的弦长，B正确；
对于，两圆相交且半径相等，则公切线长等于圆心距，即公切线的长为，D错误；
故选：．
根据题意，将两圆的方程变形为标准方程，可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析两圆的位置关系可得A正确，C错误；对于，联立两圆方程，求出公共弦所在直线的方程，由直线与圆的位置关系可得公共弦的长，可得B错误，对于，分析可得公切线长等于圆心距，可得D错误，即可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，
化为：，
解得：或．
经过验证满足条件．
故选：．
由，解得经过验证即可得出．
本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：当时，双曲线方程为：，双曲线的虚轴长为，
所以，解得；
当时，双曲线方程为：，双曲线的虚轴长为，
所以，解得，
则实数的值为或．
故答案为：或．
通过的范围，写出双曲线方程，然后求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查分类讨论的应用，是易错题．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线：与：，
则与之间的距离为：．
故答案为：．
直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
求出椭圆的焦点坐标，然后利用双曲线的焦点坐标列出关系式求解即可．

【解答】

解：椭圆的焦点坐标，
椭圆与双曲线有共同的焦点，
可得，解得．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆：，点，有，即点在圆上，
又由，则切线的斜率，
则切线的方程为，变形可得，
故答案为：．
根据题意，分析可得点在圆上，由直线与圆相切的性质分析切线的斜率，计算可得答案．
本题考查圆的切线方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
 

17.【答案】解：椭圆的焦点坐标，
抛物线与椭圆有一个共同的焦点，
所以． 

【解析】求出椭圆的焦点坐标，然后求解抛物线方程中的即可．
本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ设，由题意可得：，
整理可得：，
即动点的轨迹方程为．
Ⅱ圆心到直线的距离，
由弦长公式可得弦长为． 

【解析】Ⅰ由题意得到关于，的等量关系，然后整理变形可得轨迹方程；
Ⅱ首先求得圆心到直线的距离，然后利用弦长公式计算弦长即可．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，圆的弦长的计算等知识，属于基础题．
 

19.【答案】解：，，
，，．
．
．
设，
，，
，存在实数使得，即，
联立解得或．
． 

【解析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；
设，由于，，可得，存在实数使得，即．
本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、模的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由椭圆：焦点在轴上，
离心率，即，，
由，
，
由．
，，
椭圆的方程：；
设，，的中点为
，整理得：，
，即，
由韦达定理可知：，
，，
即
线段的中点点在圆上，
可得，
解得：，与矛盾．
故实数不存在． 

【解析】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
由题意可知：离心率，即，，由，，由，即可求得和的值，即可求得椭圆的方程；
设，，的中点为，将直线方程代入椭圆方程，由，即可求得的取值范围，由韦达定理及中点坐标公式，求得的中点的坐标，代入圆即可求得的值，由，与矛盾，故实数不存在．
 

21.【答案】证明：由正方体的性质可知，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面E.
解：以为原点，、、分别为、和轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查空间中线面平行的判定，直线与平面夹角的向量求法，属于基础题．
根据正方体的性质可证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
以为原点，、、分别为、和轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，先求出平面的法向量，再利用，以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．
 

22.【答案】解：由椭圆：过点，可得，
再由离心率为，即，解得，
所以椭圆的方程为：；
设过点且斜率为的直线的方程为：，设，，
则，的中点坐标为，
联立，整理可得：，可得，，，
所以的中点坐标为，
弦长． 

【解析】由椭圆过的的坐标，可得的值，再由离心率的值，求出的值，进而求出椭圆的方程；
由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出线段的中点的坐标，代入弦长公式，求出弦长的值．
本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，中点坐标的求法，属于中档题．