2022-2023学年甘肃省天水市张家川回族自治县第一中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省天水市张家川回族自治县第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数，若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】B

【分析】根据得到，从而利用复数乘法公式计算出答案.

【详解】在复平面内的对应点为，则在复平面内的对应点为，

故，

所以.

故选：B

2．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C.

【解析】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

3．己知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】根据向量垂直列出方程，求出，进而利用模长公式求出答案.

【详解】由题意得，解得，

则，则.

故选：A

4．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数、指数函数等知识确定正确答案.

【详解】，由于，

所以，则，所以，

所以.

故选：B

5．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出4名医生，2名护士支援湖北，现从这6人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用组合及古典概型知识计算即可.

【详解】由6人中任选2人有种选法，恰有1名医生和1名护士有种选法，

故该概率为.

故选：D

6．已知三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与三点共面，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据点P与三点共面，可得，从而可得答案.

【详解】解：因为点P与三点共面，且，

所以，解得.

故选：A.

7．将表面积的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥的表面积公式，利用侧面展开图扇形的几何性质，结合弧度的定义以及勾股定理，可得答案.

【详解】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，如下图所示：

则圆锥的侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，

由扇形的圆心角为，则，解得，

由圆锥的表面积公式可得其表面积，

由圆锥表面积为，，则，解得，

由勾股定理可得，

已知轴截面的面积.

故选：C.

8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A．20 B．18 C．16 D．14

【答案】C

【分析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得．

【详解】,或

根据函数解析式以及偶函数性质作图象，

当时，.，是抛物线的一段，

当，是由

的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，

时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，

∴函数g(x)的零点个数为，

故选：C．

【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．

二、多选题

9．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意可得，分类讨论焦点所在的位置，运算求解即可.

【详解】设长轴长为，短轴长为，

因为长轴长是短轴长的2倍，则，即，

又因为椭圆经过点，则有：

若椭圆的焦点在x轴上，可知，椭圆的标准方程为；

若椭圆的焦点在y轴上，可知，椭圆的标准方程为；

综上所述：椭圆的标准方程为或.

故选：AC.

10．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则下列不是导函数图象的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】ABC

【分析】利用导函数的正负与函数单调性的关系，即可判断选项.

【详解】由函数单调递增，，函数单调递减，，(不恒为0),

由图可知，当时，函数单调递增，所以对应的导函数，

故AC不是导函数的图象；

当时，图象是先增，再减，再增，

所以导函数的图象应先正数，零点，再负数，零点，再正数，故B不是导函数的图象.

故选：ABC

三、单选题

11．已知空间向量，下列命题正确的是（    ）

A．若与共线，与共线，则与共线

B．若非零且共面，则它们所在的直线共面

C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得

D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底

【答案】C

【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】A选项，若与共线，与共线，当为零向量时，

与不一定共线，所以A选项错误.

B选项，若非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，

比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，

对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.

C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.

D选项，若不共线，向量（且），

则共面，所以不能构成基底，D选项错误.

故选：C

四、多选题

12．为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为

B．该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元

D．估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于万元至万元之间

【答案】ABD

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.

【详解】该地农户家庭年收入低于万元的农户的比率估计值为,故A正确;

该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计值为,故B正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

(万元),超过万元,故C错误;

该地农户家庭年收入介于万元至万元之间的比例估计值为,故D正确.

故选:ABD.

五、填空题

13．已知：直线与直线互相垂直，则是的          条件.

【答案】充分不必要条件

【分析】根据直线垂直可得：，再根据充分、必要条件判断即可.

【详解】若直线与直线互相垂直，

则，解得，即：，

则，所以是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

14．已知，则的最小值是        .

【答案】5

【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.

【详解】，

当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，

故答案为：.

15．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是          .

【答案】

【分析】先令，对其求导，根据题意，得到在上单调递增；再由得，结合不等式等价于求解，根据单调性即可求解结果．

【详解】令，则，

因为定义在上的可导函数满足，

所以在上恒成立，

所以函数在上单调递增；

又，所以，

由得，所以

故，则，所以的解集是，

故答案为：.

16．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为           .

【答案】或

【分析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），结合导数的几何意义，列出方程求得的值，即可求解.

【详解】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），

则，整理得，解得或，

当时，的方程为；当时，的方程为.

故答案为：或.

六、解答题

17．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；

(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.

【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，

因为成等比数列，所以，

即，解得，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

所以；

当或者时，取到最小值.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求；

(2)若，求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;

（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）由正弦定理及，

得，

∵∴,

∵，∴．

（2）由余弦定理，∴，

即 ，当且仅当 时取等号，

∴，当且仅当时等号成立，

∴的面积的最大值为．

19．已知关于的函数，其导函数为，且，.

(1)求实数，的值；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）由，列方程组来求得.

（2）利用导数求得在上的最大值和最小值.

【详解】（1），

由于，，

所以，即，

解得.

（2）由（1）得，

所以在区间上单调递增；

在区间上单调递减.

所以在上的最大值为，

，

所以在上的最小值为.

20．如图，在直三棱柱中，，是的中点，.

(1)求证：若为中点，求证：平面；

(2)点为中点时，求二面角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角余弦值.

【详解】（1）由于是的中点，是的中点，

所以，所以四边形是平行四边形，

所以，由于平面，平面，

所以平面.

（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

由于，所以，

平面的法向量为.

设平面的法向量为，

所以，令可得，故.

设二面角为，由图可知为锐角，

.

21．已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答.

（2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得，

所以所求椭圆方程为．

（2）设，，当轴时，直线AB：，由得，，

当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得，

把代入椭圆方程，整理得，

，，当时，

，

当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，，

综上得，面积，

所以面积的最大值.

22．设，.

(1)讨论零点的个数；（为的导函数）

(2)若对任意，恒成立，求参数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对求导，求出，令，则，构造函数，对求导，利用导数求出的单调区间和最值，再作出的图象，利用图象求解即可，

（2）将问题转化为对任意，成立，构造函数，根据在定义域上单调递减，得到在上恒成立，进而求解即可.

【详解】（1）由，得，

所以，

由，得，得，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，上递减，

所以为的唯一极值点且为极大值点，

所以的最大值为，

因为，所以的大致图象如图所示，

由图可知，当时，无零点，当时，有两个零点，当或时，有一个零点，

（2）若对任意，恒成立，则对任意，成立，

设，则，

所以在上递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，

所以，

当时，仅在时成立，

所以参数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为对任意，成立，构造函数，进一步将问题转化为在上恒成立，从而可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.