2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期第一学段考试（期中）数学试题

这是一份2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期第一学段考试（期中）数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省天水一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|x2＞1}，那么下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∪B＝R
2．（5分）已知平面向量＝（x，2），＝（1，3﹣x），若⊥，则实数x的值为（　　）
A．1 B．2 C．6 D．1 或 2
3．（5分）双曲线x2﹣4y2＝4的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
4．（5分）在等差数列{an}中，a2、a4是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则a3的值为（　　）
A．2 B．3 C．±2 D．
5．（5分）“0＜λ＜4”是“双曲线＝1的焦点在x轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则3a+b的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．12
7．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则Sn取最大值时n的值为（　　）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
8．（5分）从圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长是（　　）
A． B．2 C． D．
9．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1（n≥1），则S5＝（　　）
A．57 B．31 C．32 D．33
10．（5分）已知点P在直线l：2x+y﹣10＝0上，过点P的两条直线与圆O：x2+y2＝8分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，漏选得2分，共10分）
（多选）11．（5分）过点P（2，4）作圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程为（　　）
A．3x+4y﹣4＝0 B．4x﹣3y+4＝0 C．x＝2 D．y＝4
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．过点（1，3），在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条
B．过点P（2，1）作圆x2+y2＝5的切线，切线方程为2x+y﹣5＝0
C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1）
D．直线2x﹣y﹣1＝0的一个方向向量为（﹣1，2）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）与直线x+y+2＝0平行且与它的距离为3的直线方程是　 　．
14．（5分）中心在原点，焦点在x轴上，过点（0，），且离心率为的椭圆的标准方程为 　 　．
15．（5分）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且A，B的中点为（1，1），则直线l的斜率为 　 　．
16．（5分）已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2＝1上一点，则2x+3y的最大值为　 　．
四、解答题（每小题14分，共70分）
17．（14分）已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（14分）已知函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝2，若sinA＝2sinB，求a，b的值．
19．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．

20．（14分）已知圆C经过A（0，﹣3），B（2，﹣1）两点，且圆心C在直线l1：y＝﹣2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．
21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．












2022-2023学年甘肃省天水一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|x2＞1}，那么下列关系正确的是（　　）
A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∪B＝R
【分析】利用集合间的包含关系的定义判断即可．
【解答】解：∵集合B＝{x|x2＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，
∴A⊆B，A∪B＝B，
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
2．（5分）已知平面向量＝（x，2），＝（1，3﹣x），若⊥，则实数x的值为（　　）
A．1 B．2 C．6 D．1 或 2
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵＝（x，2），＝（1，3﹣x），⊥，
∴x+2（3﹣x）＝0，解得x＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）双曲线x2﹣4y2＝4的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
【分析】直接利用双曲线的简单性质下次渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线x2﹣4y2＝4的渐近线方程为：y＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
4．（5分）在等差数列{an}中，a2、a4是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则a3的值为（　　）
A．2 B．3 C．±2 D．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系和等差数列中项的性质，即可求出a3的值．
【解答】解：等差数列{an}中，a2、a4是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
所以a2+a4＝3，
所以a3＝（a2+a4）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列中项的性质以及一元二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题．
5．（5分）“0＜λ＜4”是“双曲线＝1的焦点在x轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据双曲线标准方程可解决此题．
【解答】解：双曲线＝1的焦点在x轴上⇔λ＞0，
可知“0＜λ＜4”是“双曲线＝1的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程及充分、必要条件的判断，属于基础题．
6．（5分）已知a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则3a+b的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】利用等差数列的性质建立等式关系，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解．
【解答】解：由题意可得2×，即＝1，
所以3a+b＝（3a+b）（）＝3+3+＝6+6＝12，
当且仅当，即a＝2，b＝6时取得最小值为12，
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，涉及到等差数列的性质，属于基础题．
7．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则Sn取最大值时n的值为（　　）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1＝22，S7＝S16可解出d值为﹣2，从而可知数列{an}前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以Sn取得最大值时n的值可确定．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S7＝S16，得7a1+21d＝16a1+120d，即a1+11d＝0，
又a1＝22，所以d＝﹣2，所以an＝22﹣2（n﹣1）＝24﹣2n，令an＝0，可得n＝12，
所以数列{an}满足：当n≤11时，an＞0；当n＝12时，an＝0；当n≥13时，an＜0，
所以Sn取得最大值时，n的取值为11或12．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，前n项和；考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
8．（5分）从圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1外一点P（2，3）向圆引切线，则此切线的长是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】由已知结合直线与圆相切的性质即可求解．
【解答】解：因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心M（1，1），半径r＝1，
所以|PM|＝＝，
所以此切线的长为＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
9．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1（n≥1），则S5＝（　　）
A．57 B．31 C．32 D．33
【分析】根据数列递推关系可得an+1+1＝2（an+1），可知数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出an的通项公式，即可得出答案．
【解答】解：∵a1＝1，an+1＝2an+1（n≥1），
∴a1+1＝2，an+1+1＝2（an+1），
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，即an＝2n﹣1，
∴S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+（25﹣1）＝2+22+23+24+25﹣5＝﹣5＝57，
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的定义和利用数列递推式求通项，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知点P在直线l：2x+y﹣10＝0上，过点P的两条直线与圆O：x2+y2＝8分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，求出|PA|，OP的距离最小时，PA取得最小值，此时AB取得最小值，然后求解圆心O到直线AB的距离的最大值．
【解答】解：根据题意，设P（a，b），圆O：x2+y2＝8，其圆心为（0，0），半径为2，
PA、PB是圆的切线，
则有|PA|＝|PB|＝，OP的距离最小时，PA取得最小值，此时AB取得最小值，
此时圆心O到直线AB的距离的最大值，点P是直线l：2x+y﹣10＝0上，|OP|min＝＝2，此时|PA|＝＝2，
，
可得|AB|＝．
圆心O到直线AB的距离的最大值为：＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于中档题．
二、多选题（每小题5分，漏选得2分，共10分）
（多选）11．（5分）过点P（2，4）作圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的切线，则切线方程为（　　）
A．3x+4y﹣4＝0 B．4x﹣3y+4＝0 C．x＝2 D．y＝4
【分析】求切线方程，要注意斜率是否存在，然后利用点斜式，点到直线的距离等于半径，建立方程求出切线斜率，确定方程．
【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线坊程为 x＝2，
此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线ガ程为 y﹣4＝k（x﹣2），即 k x﹣y+4﹣2k＝0，
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝1，解得k＝．
∴所求切线方程为4x﹣3y+4＝0．综上，切线方程为 x＝2或4x﹣3y+4＝0．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．过点（1，3），在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条
B．过点P（2，1）作圆x2+y2＝5的切线，切线方程为2x+y﹣5＝0
C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1）
D．直线2x﹣y﹣1＝0的一个方向向量为（﹣1，2）
【分析】根据直线方程截距式、点斜式、直线的方向向量、圆的切线方程等知识确定正确答案．
【解答】解：A选项，当直线过原点时，直线方程为y＝3x；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，3）得，直线方程为x+y＝4，
所以过点（1，3），在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确．
B选项，由于22+12＝5，所以P（2，1）在圆x2+y2＝5上，
圆心为O（0，0），，
所以过点P（2，1）作圆x2+y2＝5的切线的斜率为﹣2，
所以切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，B选项正确．
C选项，当时，tanθ不存在，所以C选项错误．
D选项，直线2x﹣y﹣1＝0的斜率为2，一个方向向量为（1，2），所以D选项错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）与直线x+y+2＝0平行且与它的距离为3的直线方程是　x+y﹣4＝0或x+y+8＝0　．
【分析】由题意，设所求直线方程为x+y+m＝0，根据距离等于3求解m可得结论
【解答】解：由题意，设所求直线方程为x+y+m＝0，
两直线的距离等于3，
即＝3，
解得：m＝﹣4或m＝8；
∴所求直线方程为x+y﹣4＝0或x+y+8＝0；
故答案为：x+y﹣4＝0或x+y+8＝0
【点评】本题考查了待定系数法求直线的方程，考查了两平行直线的距离公式
14．（5分）中心在原点，焦点在x轴上，过点（0，），且离心率为的椭圆的标准方程为 　+＝1　．
【分析】根据焦点在x轴上过点（0，），且离心率为，求出几何量，可得椭圆的标准方程
【解答】解：∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，过点（0，），且离心率为，
∴b＝，＝，
∴a2＝3c2＝b2+c2，
可得a2＝15，c2＝5，
∴椭圆的标准方程为：+＝1，
故答案为：+＝1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于基础题．
15．（5分）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且A，B的中点为（1，1），则直线l的斜率为 　﹣　．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在椭圆上，可得3x12+4y12＝12，3x22+4y22＝12．两式相减，可解直线l的斜率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点（1，1）是线段AB的中点，
∴x1+x2＝2，y1+y2＝2，
∵此两点在椭圆上，∴3x12+4y12＝12，3x22+4y22＝12．
∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
∴k＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题．
16．（5分）已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2＝1上一点，则2x+3y的最大值为　﹣2　．
【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2＝1，
设P（﹣1+cosα，sinα），则
2x+3y＝2cosα+3sinα﹣2＝cos（α+θ）﹣2
∴2x+3y的最大值为：﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题以圆为载体，考查圆的标准方程，考查函数的最值，关键是利用三角函数假设变量．
四、解答题（每小题14分，共70分）
17．（14分）已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式an＝即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，
∵当n＝1时，a1＝2也满足上式，
∴an＝2n，n∈N*．
（2）由（1），可得bn＝
＝
＝
＝•（﹣），
则Tn＝b1+b2+•••+bn
＝•（1﹣）+•（﹣）+•••+•（﹣）
＝•（1﹣+﹣+•••+﹣）
＝•（1﹣）
＝．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了分类讨论思想，转化与化归，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（14分）已知函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝2，若sinA＝2sinB，求a，b的值．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）由题意利用正弦定理、余弦定理，求得a、b的值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+＝sin2x﹣+＝sin（2x﹣）+1，
∵﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最大值为2，此时sin（2x﹣）＝1，
又ω＝2，则最小正周期是T＝＝π．
（2）△ABC中，由f（C）＝sin（2C﹣）+1＝2，得到sin（2C﹣）＝1，
∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，即C＝，
∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b①，又c＝，
∴由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcos，即c2＝a2+b2﹣ab＝3 ②，
联立①②解得：a＝2，b＝1．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理、余弦定理应用，属于中档题．
19．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．

【分析】（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC．
（2）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此能求出平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．
【解答】证明：（1）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
∴PA⊥BD，AB＝＝＝2，
∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，
∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，
∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°＝，
∴平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，属中档题．
20．（14分）已知圆C经过A（0，﹣3），B（2，﹣1）两点，且圆心C在直线l1：y＝﹣2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．
【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线y＝2x联立，可得圆C的圆心，求得|AC|，可得圆的半径，进而得到圆的方程；
（2）讨论直线l2的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．
【解答】解：（1）线段AB的中点为（1，﹣2），直线AB的斜率为1，
所以线段AB的垂直平分线为y+2＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x﹣1，
由解得，
所以圆心为C（1，﹣2），半径为，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．
（2）当直线l2的斜率不存在时，由，得y＝﹣1，或y＝﹣3，
即直线x＝0与圆C相交所得弦长为﹣1﹣（﹣3）＝2，符合题意．
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，
由于圆C到l2的距离，所以，
所以．
综上所述，直线l2的方程为x＝0或15x﹣8y+16＝0．
【点评】本题考查圆的方程和运用，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．
由已知，得．把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，然后由根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．
由已知，得．
把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，
∴，．
∴|AB|2＝（1+k2）（x2﹣x1）2
＝
＝
＝
＝
＝．
当且仅当，即时等号成立．当k＝0时，，
综上所述|AB|max＝2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．