2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，那么下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式可求得集合，由此可得包含关系.

【详解】由得：或，即或，.

故选：B.

2．已知平面向量，，若，则实数x的值为（    ）

A．1 B．2 C．6 D．1或2

【答案】C

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】由于，所以，解得．

故选：C

3．双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】确定双曲线的焦点位置和的值即得解.

【详解】解：由题得，所以双曲线的焦点在轴上，

所以

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A

4．在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（　　）

A．2 B．3 C．±2 D．

【答案】D

【分析】根据韦达定理可得，再利用等差中项运算求解.

【详解】由题意可得：

∵{an}为等差数列，则

∴

故选：D.

5．“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先根据双曲线的焦点在x轴上得到的范围，进而求得答案.

【详解】由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.

故选：A.

6．已知，，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．12

【答案】D

【分析】根据等差中项的性质得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，，且，，成等差数列，

所以，

所以，

当且仅当，即，时取等号；

故选：D

7．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（　　  ）

A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

【答案】B

【分析】设等差数列的公差为d，由可解出d值为，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时的值可确定．

【详解】设等差数列的公差为d，由，得，即，

又，所以，所以，令，可得，

所以数列满足：当时，；当时，；当时，，

所以取得最大值时，的取值为11或12．

故选：B．

8．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】利用勾股定理可求切线长.

【详解】

设切点为，圆心为，连接，则，

而，

故选：B .

9．已知数列满足，，则（    ）

A．57 B．31 C．32 D．33

【答案】A

【分析】因为，所以，可知为等比数列，从而求出，最后求和即可.

【详解】因为，

所以，，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以，

所以，

.

故选：A

10．已知点P在直线上，过点P的两条直线与圆分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，再根据点到线的距离公式，结合在直线上，可得圆心O到直线AB的距离关于的表达式，进而根据函数的最值求解即可.

【详解】设点，圆，其圆心为，因为、是圆的切线，则有，，

则点、在以为直径的圆上，又由，，则以为直径的圆的方程为：，即，联立可得

，即直线的方程为.

又在上，故，所以圆心O到直线AB的距离，故当，取最大值 .

故选：B

二、多选题

11．过点做圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．

【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；

若切线的斜率存在，设切线方程为，即，

则有，解可得，所以切线方程为，

综上可知，切线方程为或.

故选：BC．

12．下列说法正确的是（    ）

A．过点，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条

B．过点作圆的切线，切线方程为

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．直线的一个方向向量为

【答案】AB

【分析】根据直线方程截距式、点斜式、直线的方向向量、圆的切线方程等知识确定正确答案.

【详解】A选项，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，

设直线方程为，代入点得，直线方程为，

所以过点，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确.

B选项，由于，所以在圆上，圆心为，

，过点作圆的切线的斜率为，

所以切线方程为，即，B选项正确.

C选项，当时，不存在，所以C选项错误.

D选项，直线的斜率为，一个方向向量为，所以D选项错误.

故选：AB

三、填空题

13．与直线平行且与它的距离为的直线的方程为______．

【答案】或

【分析】由所求直线与直线平行，设出直线方程为，利用两平行线的距离公式列方程求出，可得答案．

【详解】设所求直线方程为，则，解得或，

故答案为：或

14．中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为______．

【答案】

【分析】设出椭圆的方程，由所过定点求出，再根据结合离心率求出，可得椭圆的标准方程．

【详解】设椭圆的标准方程为，椭圆过点，，则，又，解得，因此椭圆的标准方程为

故答案为：

15．已知直线与椭圆交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________.

【答案】##.

【分析】利用点差法求解即可.

【详解】设，则

，，

所以，

所以，

因为的中点为，

所以，

所以，

所以，

所以直线的斜率为，经检验满足题意，

故答案为：.

16．已知是圆上一点，则的最大值为__．

【答案】

【分析】利用参数方程,设点的坐标为,利用三角函数的变形及辅助角公式,可求最大值．

【详解】圆的标准方程为

由圆的参数方程,可设

则

∴的最大值为

故答案为:

【点睛】本题考查了利用圆的参数方程求最值,属于基础题.

四、解答题

17．已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】(1)an＝2n，n∈N*

(2)Tn=

【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列{an}的通项公式；

（2）先根据第（1）题结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．

【详解】（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，

当n≥2时，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，

∵当n＝1时，也满足上式，

∴an＝2n，n∈N*．

（2）由（1），可得bn＝

＝

＝

＝

则Tn＝b1+b2+•••+bn

＝

＝

＝

＝

18．已知函数，.

(1)求函数的最大值和最小正周期；

(2)设的内角的对边分别是，且，，若，求，的值.

【答案】(1)函数的最大值为2，,最小正周期为

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合三角函数相关知识求出最大值和最小正周期即可；

（2）根据条件求出，结合正弦定理角化边，由余弦定理列出等式求解即可.

【详解】（1）由题意知，，

因为，所以，所以函数的最大值为2，

函数的最小正周期为.

（2）由题意得，，即，

因为，所以，所以，

所以，即，

因为，由正弦定理得

由余弦定理得，即，

又因为，

所以.

19．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.

【详解】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.

20．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；

（2）讨论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．

【详解】（1）线段AB的中点为，直线AB的斜率为，

所以线段AB的垂直平分线为，即，

由解得，

所以圆心为，半径为，

所以圆C的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，由，得，或，

即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由于圆C到的距离，所以，解得，

所以．即，

综上所述，直线l2的方程为或．

21．已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答.

（2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得，

所以所求椭圆方程为．

（2）设，，当轴时，直线AB：，由得，，

当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得，

把代入椭圆方程，整理得，

，，当时，

，

当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，，

综上得，面积，

所以面积的最大值.