2022-2023学年江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知（，且），则的值为（    ）

A．30 B．42 C．56 D．72

【答案】C

【分析】根据组合数公式求出，再根据排列数公式计算可得.

【详解】因为，所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C

2．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】异面直线的夹角在中，结合求解即可.

【详解】由题，，，

则，

故选：B

3．甲、乙分别从门不同课程中选修门，且人选修的课程不同，则不同的选法有（    ）种．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可.

【详解】甲从门课程中选择门，有种选法；乙再从甲未选的课程中选择门，有种选法；

根据分步乘法计数原理可得：不同的选法有种.

故选：C.

4．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.

【详解】解：，

，

，

，

所以，

故选：B

5．某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：

已知关于的线性回归方程，现有四个命题：

甲：根据模型预测当时，的估计值为35；乙：；

丙：这组数据的样本中心为；丁：.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】先假设，然后逐项验证即可

【详解】,若,则,数据的样本中心为

则,得

根据模型预测当时,的估计值为37

即乙丙丁为真命题,甲为假命题

故选：A

6．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P ( B|A)的值.

【详解】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为，

事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个,

事件A发生的概率，

而事件A B包含的基本事件有“”一个，

可得事件AB发生的概率，

.

故选：D

7．展开式中的常数项为（    ）

A．－70 B．－56 C．56 D．70

【答案】D

【分析】先写出的通项公式，由通项公式可知当时，得到展开式的常数项.

【详解】的通项公式为，

当时，得到展开式的常数项为，

故选：D

8．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可

【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：

①，；

②，；

③，；

根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为

故选：C

二、多选题

9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则

B．，，两两共面，但，，不共面

C．一定存在实数x，y，使得

D．，，一定能构成空间的一个基底

【答案】ABD

【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得.

【详解】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，

∴若，则，A正确，B正确；

若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；

设，则，此方程组无解，

∴，，不共面，D正确.

故选：ABD.

10．现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（    ）

A．女生甲不在排头的排法总数为24

B．男女生相间的排法总数为12

C．女生甲、乙相邻的排法总数为48

D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72

【答案】BCD

【分析】A. 利用排除法求解判断； B.利用插空法求解判断；C.利用捆绑法求解判断；D.利用插空法求解判断.

【详解】A. 女生甲在排头的排法有，所以女生甲不在排头的排法总数为，故错误；

B. 2名男同学全排列为种，产生3个空，再将3名女同学排上有种，所以男女生相间的排法总数为，故正确；

C.女生甲、乙相邻看作一个元素，则种，女生甲、乙再排列有种，所以女生甲、乙相邻的排法总数为种，故正确；

 D.除女生甲、乙以外3人全排列有种，产生4个空，再将女生甲、乙排上有种，所以女生甲、乙不相邻的排法总数种，故正确

故选：BCD

11．在的展开式中（    ）

A．常数项为 B．项的系数为

C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项

【答案】BCD

【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可.

【详解】的展开式的通项公式，

对于A：令，解得，可得，

即常数项为，故A错误；

对于B：令，解得，可得，

即项的系数为，故B正确；

对于C：由通项公式可得：第项的系数为，

当为偶数时，；当为奇数时，；

取为偶数，令，则，

整理得，解得，

所以系数最大项为第3项，故C正确；

对于D：令，则，

所以有理项共有5项，故D正确；

故选：BCD.

12．已知正方体、的棱长为1，点是对角线、上异于、的动点，则（    ）

A．当是的中点时，异面直线与所成角的余弦值为

B．当是的中点时，、、、四点共面

C．当平面时，

D．当平面时，

【答案】ACD

【分析】对AB，连接，，则异面直线与所成角即与所成角，从而判断A，再根据平面可判断B；

对CD，根据线面平行的判定可得平面平面，进而得到当平面时为与平面的交点.结合线面垂直的判定与性质可得，进而结合三角函数的关系求得

【详解】对AB，当是的中点时，连接，易得三点共线，连接，则异面直线与所成角即与所成角，因为，故A正确；

此时显然平面，故、、、四点不共面，故B错误；

对CD，连接，由正方体的性质可得，则平面平面.又平面，故为与平面的交点.又，故平面，故，同理可得，故平面，故.故D正确；故，所以，故，故C正确；

故选：ACD

三、填空题

13．如果随机变量，且，则         .

【答案】0.3/

【分析】根据正态分布的对称性求解即可

【详解】因为随机变量，故

故答案为：

14．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为         .

【答案】/

【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.

【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，

∴则点P到平面的距离为.

故答案为：.

15．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为        ．(若，则)

【答案】/0.5

【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，

由可得，，

所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

16．正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为         .

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得到，根据，得到或，然后利用线面角的向量求法求解.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，设，

所以，

因为，

所以，

则，因为，则，

解得或，

易知平面的一个法向量为，

所以，

则，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知的展开式中，_________.

现在有以下三个条件：

条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为；

条件②：只有第6项的二项式系数最大；

条件③：其前三项的二项式系数的和等于56.

请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：

(1)求展开式中所有二项式系数的和；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)1024

(2)180

【分析】（1）选条件①得到求解；选条件②得到求解；选条件③得到求解.

（2）由（1）得到二项式为，再利用通项公式求解.

【详解】（1）解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为；

所以，即，

即，

解得（舍）或.

所以展开式中所有二项式系数的和；

选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大；

所以为偶数，且，

解得.

所以展开式中所有二项式系数的和；

选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56，

所以，

即，即，

所以（舍）或.

所以展开式中所有二项式系数的和；

（2）由（1）二项式为，

其通项公式为：，

令，解得，

所以展开式中的常数项为.

18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．

(1)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

(2)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

(3)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？

【答案】(1)960

(2)3720

(3)126

【分析】（1）相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理即可；

（2）特殊元素优先安排即可；

（3）相同元素分配问题插板处理即可.

【详解】（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，

由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，

最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．

故排法共有（种）．

（2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；

甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，

共有 （种）．

法二：7名学生全排列，只有种方法，

其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，

其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

共有（种）．

（3）法一：16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种．

法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：

1.四只口罩分给1人，有种分法；

2.四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法；

3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；

4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；

5.四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；

则共有种分法．

19．甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求和；

(2)求的标准差.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）分析，两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式求解即可；

（2）根据题意可得可能的取值为，再求解的概率，进而根据均值和方差的公式求解即可

【详解】（1）：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.

；

：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜.

.

（2）根据题意可得可能的取值为.

：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；

甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；

乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；

乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；

.

，

，所以标准差为.

20．如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点.

(1)求证：；

(2)若二面角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)6.

【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的性质推理作答.

（2）取的中点，连接，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.

【详解】（1）在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则，

又平面平面，平面平面，平面，

则有平面，而平面，

所以.

（2）取的中点，连接，

在直角梯形中，，、分别为、的中点，则，又，即有，

由（1）知平面，又、平面，则，.

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

，设平面的一个法向量，

则，令，得，

由（1）知，平面，则是平面的一个法向量，

，

因二面角的余弦值为，则，又，解得，

的值是6.

21．近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，

(1)求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；

(2)记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，

所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.

（2）依题意的可能取值为、、、、，且，

所以，，

，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以.

22．随着科技的发展，看电子书刊的人越来越多在某市随机选出200人进行采访，经统计这200人中看电子书刊的人数占总人数的（假设被采访者只给出“看电子书刊”或“看纸质书刊”两种结果）.将这200人按年龄（单位：岁）分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.这200人中看纸质书刊的人的年龄的频数分布表如下：

(1)年龄在内的称为青壮年，年龄在内的称为中老年.若选出的200入中看电子书刊的中老年有10人.

①请完成下面的列联表，并判断能否有95%的把握认为看书刊的方式与年龄层有关.

②将频率视为概率，现从该市所有青壮年和中老年人群中随机采访三人，求这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率；

(2)该市倡议：书香战“疫”，以“读”攻毒，同时许多人呼吁“回归纸质书刊”该市现有报刊亭每天早上从报刊发行处购进某报纸后零售，且规定的零售价格是1.5元/份.若晚上报纸卖不完，则可再退回发行处，此时退回的价格是0.4元/份.有一报刊亭根据市场调研，每天的需求量及其概率情况如下：

报刊发行处每100份报纸为一包，并规定报刊亭只能整包购进，每包价格为100元.请为该报刊亭筹划一下，应该如何确定每天购进报纸的包数（，且），使得日收益的数学期望最大.

附参考公式：（其中）.

参考数据：

【答案】(1)①表格见解析，有95%的把握认为看书刊方式与年龄层有关；②

(2)

【分析】(1)根据数据列表计算即可；

(2)分别求出， ，，时，的值比较即可.

【详解】（1）①填写列联表如下：

假设：看书刊的方式与年龄层没有关系.

根据列联表中的数据可以求得

，

由于，且当成立时，，

所以有95%的把握认为看书刊方式与年龄层有关.

②随机采访的一人为中老年且看电子书刊的概率为，且每次采访相互独立，

所以这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率为.

（2）时，（元）；

时，（元）；

时，

（元）；

时，

（元）.

综上所述，当时，利润的数学期望最大.