2022-2023学年江苏省扬州市仪征市第二中学高二下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省扬州市仪征市第二中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且与互相平行，则（    ）．

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据与互相平行，可设，列方程，可求出.

【详解】与互相平行，可得，且，得，解得，

故选：B

2．等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据排列数公式即可得答案.

【详解】根据排列数公式可得，

故选：C

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用组合数性质：即可求出结果.

【详解】由组合数性质：，且

故选：A

4．已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（    ）

A． B．6 C． D．12

【答案】A

【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.

【详解】由，，共面，可设，则，

由，解得，代入第三个方程可得：，解得.

故选：A.

5．从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果.

【详解】这个两位数大于40的个数为．

故选：B．

6．直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.

【详解】依题意，

因为直线的方向向量为，

所以取直线的一个单位方向向量为，

由，可得，

所以，

，

所以.

故选：B.

7．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ）

A．36 B．64 C．72 D．81

【答案】A

【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.

【详解】4名同学分成1，1，2三组：

三组去三个不同的小区：

所以全部的种类数：；

故选：A.

8．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.

【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.

故选：C.

二、多选题

9．下面四个结论正确的是（    ）

A．空间向量关于x轴对称的向量为

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底

D．任意向量，满足

【答案】ABC

【分析】根据对称性即可判断A；根据空间向量共面定理即可判断B；根据基底的定义即可判断C；根据数量积的定义即可判断D.

【详解】对于A，空间向量关于x轴对称的向量为，故A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有，

因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；

对于C，是空间的一组基底，则不共面，

若，所以共面，所以不共面，

故也是空间的一组基底，故C正确；

对于D，表示与共线的向量，

表示与共线的向量，

而的方向不确定，所以不能得出上述结论，故D错误.

故选：ABC.

10．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据结合的性质，结合分类计数原理逐一判断即可.

【详解】因为有13名医生，其中女医生6人，所以男医生7人.

A：表示选派1个男医生4个女医生，因此表示不选派1个男医生4个女医生，这里包括不选派男生，显然不符合题意，

B：表示选派2个男医生3个女医生，表示选派3个男医生3个女医生，

表示选派4个男医生1个女医生，表示选派5个男医生，

显然表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；

C：表示选派1个男医生4个女医生，表示选派5个女医生，显然表示医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，符合题意；

D：表示先从7名男医生中选2名男医生，再从剩下全部医生中选3名医生，显然不符合题意，

故选：BC

11．下列等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.

【详解】根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得．，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得

，，即，则D正确．

故选：BCD

12．甲､乙､丙､丁､戊5人参加完某项活动后合影留念，则（    ）

A．甲､乙､丙站前排，丁､戌站后排，共有120种排法

B．5人站成一排，若甲在乙的左边，共有60种排法

C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法

D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法

【答案】BCD

【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：先将5人排队，根据对称分析运算；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况.

【详解】对A：甲､乙､丙站前排，有种排法，丁､戌站后排，有种排法，

共有种排法，故A错误；

对B：5人站成一排，有种排放，

若甲在乙的左边，根据对称可知，共有种排法，故B正确；

对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C正确；

对D：5人站成一排，有种排法，则有：

甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；

甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；

甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；

则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．在三棱锥中，是平面内一点，且，则          .

【答案】

【分析】根据空间向量共面定理求解即可.

【详解】因为四点共面，，

所以，解得.

故答案为：

14．若，则      .

【答案】6

【分析】由排列数和组合数的计算公式，解方程求解即可.

【详解】因为，，

所以.

由，得（舍去）或.

故答案为：.

15．马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有      种.

【答案】10

【分析】根据题意，用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，分析其空位情况，在空位中，任选3个，安排熄灭的灯，由组合数公式计算可得答案.

【详解】解：根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，

则需要用插空法分析：

先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，

在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，

即有10种关灯方法.

故答案为：10．

16．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有           种不同的种花方法.

【答案】72

【分析】根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分4步进行分析：

①对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，

②对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，

③对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，

④对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，

若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，

所以区域4、5共有2+1=3种着色方法；

综上，一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法；

故答案为：72

四、解答题

17．已知，.

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.

【详解】（1）由已知可得，，

∴.

（2），，

∵，∴存在实数使得，

∴，，，联立解得.

18．如图，从青岛到北京有三条不同的航线，从北京到上海有四条不同的航线，从青岛不经北京到上海有两条不同航线．

(1)从青岛到上海共有多少种的不同的飞行航线？

(2)从青岛到上海再回到青岛，但返回时要飞与去时不同的航线，有多少种的不同的飞行航线？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用分类加法计数原理求解即可；（2）利用分步乘法计数原理求解即可.

【详解】（1）从青岛到上海的航线分为两类：

第一类经过北京，分两步完成，第一步从青岛到北京，第二步从北京到上海，有种方法，

第二类从青岛直接到上海，有2种方法，所以从青岛到上海的不同走法总数是种.

（2）该事件发生的过程分为两大步，第一步去，有14种走法；第二步回，返回的走法比去时的走法少一种，所以不同的走法总数为种.

19．如图已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，点是的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求点到平面的距离；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】（1）解：以点为坐标原点，、、所在方向分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，

，

设平面的法向量为，

，，

，取，

，

直线与平面所成角的正弦值为；

（2）解：又，

点到平面的距离；

20．如图，在平行六面体中，，且，

(1)试用表示向量.

(2)若，，，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出；

（2）计算，得出的长.

【详解】（1）

（2）

即，∴.

21．（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数

(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？

(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解；

（2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解；

（3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解.

【详解】（1）若选到0，则0不能排在首位，有种方法，

若没有选到0，则有种方法，

综上可知，共有种方法；

（2）个位是偶数的数是偶数，

若个位是0，则有种方法，

若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法，

综上可知，共有种方法；

（3）中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数，

则个四位数，

综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数.

22．如图，在三棱柱中，侧面，已知，，是棱的中点．

(1)求二面角的正弦值；

(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，或．

【分析】（1）根据题意先证明，，两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法得出二面角的余弦值，进而即可得到其正弦值；

（2）设存在点，从而根据得到点的坐标，再结合（1）可列关于的方程组，求解即可．

【详解】（1）因为，，，所以．

所以，所以．

因为侧面，且侧面，所以．

又因为，且，平面，

所以直线平面，

以为原点，，和的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则知点，，，．

则，，，，

设平面的法向量为，

因为，所以，令，则，，所以．

设平面的法向量为，

因为，所以，令，则，所以．

因为，，，所以．

设二面角为，则，

所以二面角的正弦值为．

（2）假设存在点，因为，

所以，所以的坐标为，

所以．

由（1）知平面的一个法向量为，

所以，得或，

所以或．