2022-2023学年吉林省四平市第三高级中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省四平市第三高级中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知（，且），则的值为（    ）

A．30 B．42 C．56 D．72

【答案】C

【分析】根据组合数公式求出，再根据排列数公式计算可得.

【详解】因为，所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C

2．已知某质点运动的位移（单位；）与时间（单位；）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】对求导得，从而可求质点在时的瞬时速度.

【详解】因为，所以，

所以该质点在时的瞬时速度为.

故选：B.

3．某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出．

【详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则

，，

，，

所以．

【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望的求法．

4．肖明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，则他至少选中1道排列题的选法有（    ）

A．56 B．64 C．72 D．144

【答案】B

【解析】根据组合的概念，直接得出结果.

【详解】从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，至少选中1道排列题的选法有.

故选：B.

【点睛】本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.

5．月日是世界睡眠日，年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为（    ）（结果四舍五入保留整数）

附：若，则，，．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，可求得，由此可确定对应的学生人数.

【详解】，，，

，

该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为.

故选：B.

6．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】分析：首先利用偶函数的性质求得实数a的值，然后求解的解析式，二次求导研究导函数的极值，利用极值点即可求得最终结果.

详解：函数为偶函数，则，

即：，

据此可得：，

函数的解析式为：，其导函数，

二阶导函数，在 递减，在 递增，在 递减，所以

函数的极大值为：，

观察所给的函数图象，只有A选项符合题意.

故选：A

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ）

参考数据及公式如下：

A．12人 B．11人 C．10人 D．18人

【答案】A

【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.

【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：

若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，

由，解得，

因为为整数，

所以若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有人.

故选：A

8．援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（    ）．

A．120 B．240 C．288 D．360

【答案】B

【分析】先将领导和队长A，B和C分别“捆绑”，利用间接法求解：先排“B与C相邻，和D，E，F排列，按插空排M”，再排除“B与C相邻，B与D相邻，和D，E，F排列，按插空排M”的情况．

【详解】先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体M，N，有种不同的排法．

将N与D，E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．

当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体P，与E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法．

故共有种不同的排法．

故选：B．

二、多选题

9．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（    ）

A．数据的平均数为0

B．若变量的经验回归方程为，则实数

C．变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强

D．变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好

【答案】BD

【分析】对A：由平均数的性质即可求解；对B：根据回归直线必过样本中心即可求解；对C：根据相关系数越大，线性相关性越强即可判断；对D：变量的决定系数越大，数据拟合的效果越好即可判断.

【详解】解：因为，所以.

对于选项A，的平均数为，故选项A错误；

对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；

对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；

对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.

故选：BD.

10．在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（    ）

A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于

B．B选项是正确选项的概率高于

C．在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为

D．在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率

【答案】BC

【分析】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.

【详解】若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，

若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确答案的概率为，

对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；

对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；

对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；

对于D，D选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.

故选：BC.

11．在的展开式中（    ）

A．常数项为 B．项的系数为

C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项

【答案】BCD

【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可.

【详解】的展开式的通项公式，

对于A：令，解得，可得，

即常数项为，故A错误；

对于B：令，解得，可得，

即项的系数为，故B正确；

对于C：由通项公式可得：第项的系数为，

当为偶数时，；当为奇数时，；

取为偶数，令，则，

整理得，解得，

所以系数最大项为第3项，故C正确；

对于D：令，则，

所以有理项共有5项，故D正确；

故选：BCD.

12．已知函数 ， ，则（    ）．

A．当时，直线与曲线相切

B．当时，没有零点

C．当时，是增函数

D．当时，只有一个极值点

【答案】BD

【分析】求导，利用导函数逐项分析即可.

【详解】当时， ，则 ，

令 ，得．

因为，所以函数在处的切线方程为，

即，故A错误；

因为 ， ，

且函数 在上单调递增，所以方程有唯一解，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以有唯一极小值点，且，故D正确；

当时， ，则 ，

因为 ， ，且函数 在上单调递增，

所以方程 有唯一解t，

当时， ；当时， ，

所以在上单调递减，在上单调递增，故C错误；

因为 ，所以 ，，

的最小值为 ．

因为，所以，即，故B正确；

故选：BD.

三、填空题

13．已知函数，则      ．

【答案】1

【详解】由题得

所以，

所以，故填1.

14．某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为         ．

【答案】

【分析】根据题意利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件表示甲厂中的配件，则，

事件表示乙厂中的配件，则，

事件表示次品的配件，则，，

故答案为：.

15．的展开式中，的系数为      ．

【答案】

【分析】写出展开式通项，令、、的指数分别为、、，求出参数的值，代入通项计算即可得出结果.

【详解】的展开式通项为，

的展开式通项为，其中，、，

所以，的展开式通项为，

由题意可得，解得，

因此，的展开式中的系数为.

故答案为：.

16．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为         ．

【答案】

【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案.

【详解】由题意，，设，则问题可转化为.

因为是上的增函数（增+增），所以恒成立.

设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.

故答案为：.

【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结.

四、解答题

17．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求

(2)求中的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由所有项的二项式系数和为512，求出的值，然后令可求出，再令，结合可求得答案；

（2）中的项为展开式中的一次项和常数项决定.

【详解】（1）因为的展开式的所有项的二项式系数和为512，

所以，得，

所以，

令，得，

令，，

所以

（2）因为展开式的通项公式为，

所以中的项为.

18．马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为的概率；

（2）已知一天的跑步公里数不少于公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定级别”与“性别”有关．

附：．

【答案】（1）跑步公里数为[5，15)的概率为跑步公里数为的概率为，跑步公里数为的概率为；（2）填表见解析；没有．

【分析】（1）用频率来衡量概率，所以根据频率分布表，分别求出跑步公里数为的频率即可；

（2）根据频率分布表中的数据完成列联表，然后利用求出，再由临界值表可得答案

【详解】解：由频数分布表可知，估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)的概率为

跑步公里数为的概率为，

跑步公里数为的概率为，

列联表如下：

因为，

所以没有的把握认为“评定级别”与“性别”有关

19．已知函数（）．

(1)当时，过点作的切线，求该切线的方程；

(2)若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解；

（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围．

【详解】（1）当时，，则，

设切点为，则，

所以切线方程为，

又切线过点，所以，即，所以，

所以切线方程为，即；

（2）由，得，令，

则，

令得，令得，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向，

作出函数的图象和直线，

如图示，在定义域内有且仅有两个零点,

即和有且只有两个交点，

由图象知，的取值范围是．

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

20．近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，

(1)求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；

(2)记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，

所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.

（2）依题意的可能取值为、、、、，且，

所以，，

，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以.

21．为提高新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合1检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有（）人，已知其中有2人感染病毒．

(1)若，并采取“10合1检测法”，求共检测12次的概率；

(2)设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．

【答案】(1)

(2)时采取“10合1检测法”更适宜，具体过程见解析

【分析】（1）时共有20人，共检测12次可知两个感染者分在同一组，计算可得所求概率.

（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.

【详解】（1）解：时共有20人，平均分为2组，共检测12次可知两个感染者分在同一组，

设所求概率为，则，

所以，并采取“10合1检测法”，求共检测12次的概率为.

（2）（2）当感染者在同一组时，，，

此时，，

当感染者不在同一组时，，，

此时，，

所以，

，

令得，又可解得，

综上可得当时，采取“10合1检测法”更适宜.

22．已知函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)设m，n为正数，且当时，，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求定义域，求导，对分类讨论，求解不同范围下的函数单调性；

（2）构造函数，二次求导，通过研究函数单调性得到，再结合的单调性得到，根据导函数得出在上单调递增，所以，从而得到证明．

【详解】（1）的定义域为，

（）．

①当时，，令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增．

②当时，因为的判别式，

所以有两正根，，且．

令，得或；

令，得．

所以在和上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递减，在上单调递增;

（2）证明：因为，所以（）．

设，

则．

当时，因为，，

令，

则．

令，因为，则，所以在上单调递增，

又，所以，则，所以在上单调递增，

又，所以，则在上单调递增．

又，所以，则．

因为，，所以．

又，

所以在上单调递减，所以，整理得．

又当时，令，则，

所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．

故．

【点睛】导函数证明不等式，通常要构造函数，研究函数的单调性，本题中要用到放缩法和二次求导，属于难题.