2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合MN中元素范围，再通过交集的概念求解即可.【详解】,则故选：B2．已知命题，．（    ）．A．p为真命题，，B．p为假命题，，C．p为真命题，，D．p为假命题，，【答案】C【分析】先根据当时，，得到p为真命题，再把特称命题进行否定，变为全称命题即可.【详解】当时，，则p为真命题，又特称命题的否定为全称命题，把存在改为任意，把结论否定，所以命题，的否定为，.故选：C．3．若函数，且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.【详解】因为，所以令，则，所以，所以，因为，所以，故选：B.4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，转化为AB，利用集合之间的包含关系，即可求出的取值范围.【详解】解：，解得，即，若“”是“”的充分不必要条件，则AB，且等号不同时成立，解得，所以的取值范围为，故选：A.5．已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.【详解】解:由题知,不妨取则有,,故选项A,B错误;关于选项C,不妨取,故选项C错误;关于选项D,,,故选项D正确.故选:D6．已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据奇函数的性质，求出的值，再结合解析式，判断出单调性，然后利用奇偶性以及单调性即可求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，则必有，代入中，得.又因为当时，均为减函数，则为上的减函数，由奇函数对称性可知，当时，也是减函数，则在上为减函数.由可得，，即，因为在上为减函数，则有，解得，即.故选：D7．如图，正方形是一个展览厅的俯视图，是办公区域，，的面积为，则办公区域面积的最小值为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】假设，由的面积为得到，从而利用割补法求得关于的关系式，利用基本不等式求得的最值，由此得解.【详解】设，则由得，故，所以办公区域的面积为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即面积的最小值为.故选：A.8．函数的大致图像为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.【详解】因为函数，定义域为，又，所以为偶函数，故B错误；由得，，同理，由得，或，故C错误；因为，，所以，故D错误；因为函数，定义域为， 且当时，，，由有，，同理，由，解得，所以当时，在单调递增，在上单调递减，又，所以A正确.故选：A.9．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（    ）A．15天 B．17天 C．19天 D．21天【答案】B【分析】设大约用x天，根据题意得到，利用对数运算求解.【详解】解：设大约用x天，“进步”的是“退步”的1000倍，由题意得，即，所以，故选：B10．已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（    ）A． B． C． D．0【答案】B【分析】依题意等价于，令，则在单调递增，再利用一元二次函数的单调性进行求解.【详解】因为，所以可化为，即，令， 即在单调递增，当时，在单调递增，当时，则或，解得或，综上所述，，即的最小值为.故选：B.11．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ）A．2 B．0 C． D．【答案】D【分析】先由题设条件得到，利用换元法结合得到，从而证得是的周期函数，再利用赋值法得到，从而求得，由此求得.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令，则，故，又因为，则，所以，故，即，所以是的周期函数，故，因为，令，得，则，又因为，令，得，因为当时，，所以，得，故，所以，则.故选：D.12．设函数，若不等式恰有三个整数解，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得成立，作出两个函数的图象，结合数形结合的思想可得解之即可.【详解】由，可得，令，，由题意知恰有三个整数解，使得成立，直线恒过点，且斜率为，作出函数，的图象，如图，结合图象，可得解得，即的取值范围是.故选：C. 二、填空题13．设函数，则______．【答案】【分析】根据分段函数解析式以及对数、指数运算求得正确答案.【详解】，所以.故答案为：14．若函数的定义域为，则的取值范围是______．【答案】【分析】对数式真数恒大于零，分和两种类型解的取值范围.【详解】函数的定义域为，即恒成立，当时，符合题意；当时，有，解得.综上可得的取值范围是.故答案为：.15．已知正数，满足①，②两个条件中的一个，则的最小值为______.【答案】选①：；选②：【分析】根据所选条件利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，，若选①，由，可得，因为，所以，所以，当且仅当，即、时取等号；若选②，，可得，所以，当且，即，时等号成立；故答案为：选①：；选②：16．设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则m的取值范围为________.【答案】【分析】作出图像后数形结合求解【详解】作出三个函数图像，由题意得，若在上有最大值，而，令得，数形结合可得当时，在上有最大值，故答案为： 三、解答题17．已知，且.(1)求的最小值.(2)是否存在正实数，使得？请说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析． 【分析】(1)根据，结合基本不等式即可求出最小值；(2)利用常用不等式可得，利用该不等式求出的最小值，从而可作出判断．【详解】（1）∵都为正数，且，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为；（2），即，即，，当且仅当2x＝y时取等号，故不存在正实数，使得﹒18．已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”．(1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.（2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】（1）当时，由，得，即：若为真命题，则；若为真命题，即恒成立，则当时，满足题意；当时，，解得，故．故若为假命题，为真命题，则，解得，即实数的取值范围为．（2）对于，且．对于，，则：或．因为是的充分不必要条件，所以，解得．故的取值范围是.19．已知函数（且）．(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上的最大值大于，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2). 【分析】（1）化简函数得，令，讨论其单调性，根据复合函数的单调性，判断的单调性；（2）先求在的值域，分，两种情况讨论，求出的最大值，由的最大值大于解不等式得答案.【详解】（1）当时，的定义域为，，令，则，由得，所以在上单调递减，由得，所以在上单调递增，又因为单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在上的值域为．当时，在上的最大值为，即，解得；当时，在上的最大值为，即，解得．综上，a的取值范围为．20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.【答案】(1)13分钟(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值【详解】（1）由题意可得，解得.设经过分钟，这杯茶水降温至，则，解得（分钟）.故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，当时，，当时，取得最大值3400万元；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，则当时，取得最大值3380万元.因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.21．已知为偶函数，为奇函数，且．(1)求的解析式；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求n的取值范围．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）利用奇函数和偶函数的性质，联立求解即可.（2）化简得到，通过恒成立的性质，问题转化为，利用指数函数的单调性，求出，即可得到答案.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，且有，所以，联立解得．（2）由已可得对任意的，总存在，使得成立，即对任意的，总存在，使得成立．因为，所以，又，所以，解得，即n的取值范围为．22．已知函数的图象关于直线对称．(1)求，的值；(2)若关于的方程有5个不同的实数解，求的取值范围．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由题可得，然后解方程组即得；（2）令，则关于的方程有5个不同的实数解，进而可得有两个大于0的根，然后构造函数，利用导数研究函数的性质，进而即得.【详解】（1）因为的图象关于直线对称，所以，则，解得，，经检验符合题意，所以，；（2）由题可知，所以，令，则关于的方程有5个不同的实数解，设，则，即为偶函数，由题可得，可得，所以有5个不同的实数解，等价于有两个大于0的根，即有两个大于0的根，令，则，所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，即，所以的取值范围为．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的问题.