吉林省四平市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份吉林省四平市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了已知复数，下列几何体中，棱数最多的是，已知向量，，它们的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A．五棱锥B．三棱台C．三棱柱D．四棱锥
3．已知向量，，它们的夹角为，则（ ）
A．4B．12C．2D．
4．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，为了纪念这一伟大历史事件，义乌商品市场接到一批正方体纪念品订单，该正方体的一个面印有党徽图案，相对面上印有“二十大”字样，正方体的展开图如图所示，则“二十大”字样应该在哪个面上（ ）

A．②B．③C．④D．⑤
5．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则DF的长为（ ）

A．9B．C．3D．
6．已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在平行四边形ABCD中，，，，，则（ ）
A．B．C．3D．6
8．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．已知复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．z的虚部为B．z的实部为1
C．在复平面内z对应的点在第一象限D．
（多选）10．下列关于平面向量的说法中，错误的是（ ）
A．B．若，，则
C．D．若，则
（多选）11．以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（ ）
A．B．C．D．
（多选）12．已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为钝角三角形
C．若O是的垂心，，则
D．若，，则O的轨迹经过的重心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图，四边形是梯形OABC的直观图，四边形是等腰梯形，且，，则梯形OABC的周长为 ．

14．已知i为虚数单位，实数x满足，则 ．
15．在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为 cm．
16．已知向量，，满足，若对任意的实数x，都有，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．（10分）一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．
（1）求这个圆台形花盆的体积；
（2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第二问中取3.14）
18．（12分）已知，复数（i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
19．（12分）已知向量，．
（1）若，求k的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求m的取值范围．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为．
（1）求角B的大小；
（2）若，，BD是的一条中线，求线段BD的长．
21．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的最小值；
（2）已知，，求边c及的面积．
22．（12分）如图，扇形AOB所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点M满足，点N是线段OA上的一点，，点P为弧AB上的一点．
（1）若P为弧AB的中点，求与夹角的余弦值；
（2）求的最小值．

2022-2023学年吉林省四平市普通高中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可．
【解答】解：由复数的四则运算可得：，则有．故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
2．【分析】根据题意，依次分析选项中多面体的棱数，比较可得答案．
【解答】解：根据题意，因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥．故选：A．
【点评】本题考查多面体的几何结构，涉及棱台、棱锥、棱柱的定义，属于基础题．
3．【分析】先根据已知条件计算出，然后根据化简计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为向量，满足，，且它们的夹角为，
所以，
所以．故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
4．【分析】把正方体的展开图还原成正方体，能求出结果．
【解答】解：把正方体的展开图还原后，得到：
②是正方体的下底面，①和⑤分别是正方体的后面和前面，
党旗和③分别是正方体的左面和右面，④是正方体的上底面，
∴“二十大”字样应该在③的面上．故选：B．
【点评】本题考查正方体的结构特征、展开图等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
5．【分析】设，则根据题意可知，，，又，，再△ADB中，由余弦定理建立方程，即可求解．
【解答】解：设，则根据题意可知，，，
又，，∴在△ADB中，由余弦定理可得：
，解得，∴．故选：A．
【点评】本题考查解三角形问题，余弦定理的应用，方程思想，属基础题．
6．【分析】根据题意，设该圆锥的底面半径为r，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，根据轴截面面积求出r，从而求出锥体的表面积．
【解答】解：根据题意，设该圆锥的底面半径为r，
由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为2r，
又由其轴截面的面积为，则，解得或（舍去），
所以该圆锥的表面积为．故选：C．
【点评】本题考查圆锥的表面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
7．【分析】以，为基底表示出，，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果．
【解答】解：∵，
，

∴．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义和运算律，属于中档题．
8．【分析】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同时平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案．
【解答】解：因为，
由余弦定理得，
又因为△ABC是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设BC边的中点为D，则，
因为，所以，
即O为AD的中点，所以：．
故选：A．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查向量法在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】首先把复数化简，得到，再根据复数的相关概念，逐个对选项求解即可．
【解答】解：因为，
所以虚部为5，实部为1，故A错误，B正确；
由于，对应的点为（1，2），
所以复平面内z对应的点在第一象限，故C正确；
又因为，故D错误．故选：BC．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
10．【分析】根据平面向量数量积的运算律，判断出A项的正误；根据两个向量平行的概念与性质，判断出B项的正误；根据数量积的定义，结合举反例加以说明，判断出C、D两项的正误．
【解答】解：对于A，，符合平面向量数量积的运算律，故A项正确；
对于B，若，则满足且，但是，不一定平行，故B项不正确；
对于C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，
因此不一定成立，C项不正确；
对于D，若，则，可知与互相垂直，
不一定有，即不一定成立，故D项不正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查平面向量平行的概念、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
11．【分析】分两种情况，以直角边所在直线为旋转轴时和以斜边所在直线为旋转轴时，求出答案．
【解答】解：①当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为2，高为2的圆锥，
圆锥的体积为；
②当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以为半径的圆，高为，
旋转体的体积为．故选：BD．


【点评】本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．
12．【分析】由数量积的运算判断A，根据向量的夹角公式判断B，由垂直向量的运算判断C，根据正弦定理和重心的性质判断D．
【解答】解：对于选项A，，则，则，则△ABC为等腰三角形，即选项A正确；
对于选项B，，则，即，即，B为锐角，角A与角C不一定为钝角，则△ABC的形状不确定，即选项B不正确；
对于选项C，O是△ABC的垂心，，则，即选项C正确；
对于选项D，由正弦定理得，
所以，
设BC中点为E，则，所以，

所以A，O，E三点共线，即点O在边BC的中线上，故点O的轨迹经过△ABC的重心，即选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】作出辅助线，计算出，作出原图形，求出各边长，得到答案．
【解答】解：因为四边形是等腰梯形，且，，
过点作于点F，则，，
所以，
画出梯形OABC，则，

过点B作BE⊥OA于点E，则，，
因为，所以，
由勾股定理得，

所以梯形OABC的周长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面图形的直观图，考查计算能力，属于基础题．
14．【分析】根据实数才能比较大小，即可求解．
【解答】解：实数x满足，
则，解得x＝6．故答案为：6．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
15．在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为 3 cm．
【分析】由题意球的体积与容器中的水上升的体积相等，利用圆柱和球的体积公式即可求解．
【解答】解：由题意，球的体积与容器中的水上升的体积相等，设小钢珠的半径为Rcm，
则，解得．故答案为：3．
【点评】本题考查了球和圆柱体积的计算，属于基础题．
16．【分析】设，，则可得，，设，设，则根据题意可得：对任意的实数，都有，从而得BA垂直OB直线，从而可得，即得，从而可得，最后再根据三角不等式，即可求解．
【解答】解：设，，又，∴，，
设，又对任意的实数x，都有，
∴对任意的实数，都有，设，
∴对任意的实数，都有，
∴对任意的实数，都有，∴BA垂直OB直线，
∴，又，，
∴，又，
∴，
∴，
当且仅当与反向共线时，等号成立，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的线性运算及其几何意义，向量数量积的运算，三角不等式的应用，化归转化思想，属难题．
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．【分析】（1）根据圆台的体积公式即可求解；
（2）根据圆台的侧面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得圆台高为，
∴这个圆台形花盆的体积为（cm3）；
（2）根据（1）及题意可得一个圆台的侧面积为（cm2），
∴这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：（元）．
【点评】本题考查圆台的体积与侧面积的求解，属基础题．
18．【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：（1）因为z是纯虚数，
所以，解得；
（2）在复平面内z对应的点为，
由题意可得解得，
故m的取值范围是．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
19．【分析】（1）先求出和的坐标，再由，得，从而可求出k的值；
（2）由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
，又，
所以，
即，解得；
（2）因为，，所以．
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
所以，解得且，
即m的取值范围是．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．【分析】（1）由三角形的面积及余弦定理可得角B的大小；
（2）由向量的方法求出，平方可得BD的大小．
【解答】解：（1）因为，由余弦定理可得，
可得，而，可得；
（2）因为BD为三角形的中线，
所以，所以，
即．
【点评】本题考查三角形的面积及余弦定理的应用及用向量的方法求中线的值，属于中档题．
21．【分析】（1）由已知条件结合两角和的余弦公式可得，而，再利用基本不等式可求得其最小值；
（2）由求出，从而可求出，再由可求出，然后利用角三角函数的关系可求出，，利用正弦定理可求得c，再利用三角函数恒等变换公式可求出，从而可求出三角形的面积．
【解答】解：（1）因为，
所以，
即，
则，
所以（当且仅当时符号成立），则的最小值为1；
（2）由，，所以，
所以，
由（1）可知，则，所以，
所以，因为，
在△ABC中，，所以解得，，
在△ABC中，由正弦定理可得：，
则；
因为，
所以．
【点评】本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
22．【分析】（1）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图直角坐标系，得出，，结合夹角公式即可求解；
（2）设，，得出，即可求解．
【解答】解：（1）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图直角坐标系，
由题意可得，，，，N（2，0），
则，，
则；
（2）结合（1）知，，N（2，0），
设P（3csα，3sinα），，
则，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
所以的最小值．

【点评】本题考查向量数量积的应用，属于中档题．