2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性和绝对值不等式的解法求出两个集合，利用交集的运算即可求解.

【详解】解：由题意得：

根据指数函数的单调性可知：

根据绝对值不等式可知：

根据交集的运算可知：，即

故选：C

2．已知为角终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据角终边上的点的坐标，求得角的正弦值，继而求得，代入求值，即得答案.

【详解】由题意知为角终边上一点，则，

故，

故，

故选：A

3．命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据恒成立问题分析可得命题“”是真命题等价于“”，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若命题“”是真命题，则，

可知当时，取到最大值，解得，

所以命题“”是真命题等价于“”.

因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；

因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；

因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；

故选：A.

4．中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑．二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（    ）

A．5周 B．6周 C．7周 D．8周

【答案】B

【分析】根据题意列式求解可得，即，令运算求解即可.

【详解】由题意可得：，解得，

所以，

令，整理得，

因为，

故，则，所以至少需要放置6周.

故选：B.

5．已知函数，则的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集.

【详解】根据题意当时,，

当时, ,

作出函数的图象如图，

在同一坐标系中作出函数的图象，

由图象可得不等式解集为，

故选：C

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.

6．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，，得：，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故选：C.

7．已知同时满足下列三个条件：

①当时，的最小值为；

②是偶函数；

③．

若在上有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由①可得函数的半个周期为，即可求得，由②③可求得，再根据正弦型函数的图象与性质找到两个零点时满足的范围即可.

【详解】由①当时，则分别为最大值与最小值，所以的最小值即为半个周期，，由；

由②是偶函数，所以，

因为，所以或；

由③，则， 所以.

时，，因为在上有两个零点，

根据正弦函数的图象

故选：A.

8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.

【详解】由得：，

，关于中心对称，则，

为奇函数，，左右求导得：，

，为偶函数，图象关于轴对称，

，

是周期为的周期函数，

，D正确；

，，又，

，A错误；

令，则，，

又，，，

即，B错误；

，，

设，则，，

又为奇函数，，，

即，C错误.

故选：D

【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：

①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；

②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.

9．下列不等关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数值的特征，构造函数，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB；同理构造函数，判断CD.

【详解】令，则，

当时，，当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，即，故A错误，

又，所以，即，故B正确；

令，，则，

令，

则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，即，

即，故C正确，D错误，

故选：BC．

【点睛】关键点点睛：构造函数和，，是解决本题的关键.

二、多选题

10．下列说法正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．若实数a，b，c满足，则

C．若，则函数的最小值为2

D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是

【答案】AB

【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；利用基本不等式可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D.

【详解】对A，由解得或，所以A正确；

对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；

对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误；

对D，①当时，不等式为，恒成立；

②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，

所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误.

故选：AB．

11．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．定义域为 B．

C．是偶函数 D．在区间上有唯一极大值点

【答案】ACD

【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断D.

【详解】A.的定义域为，解得的定义域为正确

B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；

C.设，

则定义域为，

，即是偶函数，正确

D.，

令，

令，由，

当时，，即当时，单调递增，

当时，在单调递减，

且，，

,

结合时，；时，，

故存在使得，即有在单调递减，在单调递增，在单调递减，

注意到，且时，时，，

从而对于，当时，

在区间单调递减，当时，，

在区间单调递增，为在区间上的唯一极大值点，

故D正确，

故选：

【点睛】难点点睛：利用导数解决在区间上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题.

12．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.

【详解】，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

由，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

于是有，因此选项AB正确，

两个函数图象如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，

不妨设，

且，

由，又，

又当时，单调递增，所以，

又，又，

又当时，单调递减，所以，

，

，于是有，所以选项D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键.

三、填空题

13．已知函数为奇函数，则         .

【答案】

【分析】根据函数奇偶性的定义化简可得答案.

【详解】由函数为奇函数可得，，

化简得 ，

此时符合题意，

故答案为：0.

14．已知命题，若为假命题，求实数的取值范围           .

【答案】

【分析】先求得命题的否定，然后根据是真命题求得的取值范围.

【详解】依题意，命题是假命题，

所以是真命题，

当时，不等式化为，成立，

当时，不等式化为，不成立.

当时，不等式化为，成立，

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

15．已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则           .

【答案】

【分析】根据奇偶性得到函数的周期性，再求出、、、，最后根据周期性计算即可.

【详解】由于是奇函数，函数图象关于原点对称，

所以关于对称，，

所以，

因为是偶函数，

所以，

所以，所以，

所以，

所以是周期为的周期函数，

又，，，

，，

所以，

所以

.

故答案为：.

16．已知函数，若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】由数形结合的思想有：方程恰有两个实数解，即曲线与直线有两个不同的交点，利用导数求切线方程的斜率，过原点的直线与相切的斜率为，再结合图象可得解

【详解】方程恰有两个实数解，

即曲线与直线有两个不同的交点，

设，则，

设过原点的直线与相切的切点坐标为，

则切线方程为：，

又此切线过点，求得，

由图可知：曲线与直线有两个不同的交点时有：，

当时，此时与直线有两个交点分别为和，也符合要求，

当时，此时与直线有两个不同的交点，也符合要求，

综上可知：实数的取值范围为：，

故答案为：

四、解答题

17．设函数，其中．若．

（1）求；

（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值．

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）代入，结合，即得解；

（2）由平移变换，得到，又，结合正弦函数性质即得解.

【详解】（1）因为，且，

所以，．

故，．又，所以．

（2）由（1）得，

所以．

因为，所以，

当，即时，取得最小值．

【点睛】本题考查了正弦函数的图像变换及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

18．设函数，将函数的图象向左平移单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为，且为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)令函数对任意实数， 恒有，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数图象平移变换以及最小正周期为，可得，利用平移后的函数为奇函数可得；

（2）将代入化简可得，再利用换元法根据由二次函数单调性即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由题可知，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．

则，

由的最小正周期为，得

由为奇函数可得，即，因为，所以．

所以．

（2）由（1）得，

所以，

根据恒成立，可得对任意实数恒成立；

令，

因为，所以，根据正弦函数单调性可得，即，

再根据二次函数单调性可得

因此．

即实数的取值范围为

19．已知．

(1)求在上的最值；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解.

【详解】（1）由题意知，

令，得，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

因为，，，

所以在上的最大值为，最小值为．

（2）恒成立，

即恒成立，

设，

则，．

①当时，取，则

，

所以当时，不恒成立．

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以要使，只需，

即，

解得，

所以．

综上，实数a的取值范围是．

20．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为为锐角，所以，则，

又因，所以，

所以，

所以，

则.

21．已知函数（）．

(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，结合函数的极值，求得答案；

（2）利用（1）的结论，将不等式转化为，即证当时，

，从而构造函数，利用导数求得该函数的最值，进而证明不等式.

【详解】（1）∵函数的定义域为，

且．

∴当时，恒成立，在上单调递增，无极大值．

当时，由解得；由解得，

故在上单调递增，在上单调递减,

∴,

即，而函数在上单调递增，

所以．

（2）证明：由（1）知，即．

要证当时，，

即证，

当时，,即证,

令函数，则，

令，

则，所以函数在定义域上单调递增．

因为，，

所以函数在区间上存在零点，使得，即,

当时，；当时，；

故为函数在区间上的唯一极小值点，

所以

，

所以当时，．

【点睛】关键点点睛：要证当时，，利用（1）的结论，即证，关键就是再转化为证明，从而构造函数，利用导数求得函数最值，解决问题.

22．已知函数，．

(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；

(2)若时，存在4个不同实数满足．证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）按和讨论，在时，求出函数的最大值建立不等式，再利用单调性求解不等式作答.

（2）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨的根的情况即可推理作答.

【详解】（1）依题意，，求导得，

当，函数定义域为，，不符合题意，

当,函数定义域为，由，解得，

当时，，则函数在区间上单调递增，

当时，，则函数在区间上单调递减，

，于是，

设函数，求导得，即函数在上单调递增，

又，因此当时, 成立，即成立，

所以的取值范围是.

（2）当时，，

设函数，

当单调递增，单调递减，

不妨令，

由，即，

又因为，

因此,即，

由函数单调性知，方程至多有两解，从而不妨令，

两式相减得，由,得，

所以.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.