2023届江苏省连云港市赣榆高级中学高三上学期10月学情检测数学试题含答案

2023届江苏省连云港市赣榆高级中学高三上学期10月学情检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集的定义即可计算作答.

【详解】由得，即，

由得，解得，即，

于是得.

故选：D

2．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数虚部为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的概念，即可得答案；

【详解】，

，的共轭复数虚部为3，

故选：B.

3．“为第二象限角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合三角函数、充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】若“为第二象限角”，则，即.

若，如，但是第三象限角.

所以“为第二象限角”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理以及特殊角三角函数值即可求解.

【详解】如图，在中，由正弦定理得，

解得，

.

故选：C

5．已知向量满足，则与夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得，再利用向量夹角公式，结合向量数量积的运算计算即可得到答案.

【详解】，

∴=1，

所以，

故向量与的夹角为.

故选：B.

【点睛】本题考查了向量的夹角，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力.

6．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将化成的表达式，代入计算即得.

【详解】

.

故选：D.

【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程.

7．已知，若，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不确定

【答案】C

【分析】由得，构造新函数，利用导数讨论的单调性，从而判断出，即可 得到.

【详解】因为，所以，即，

设，则，令=0，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减；

因为，，所以，

所以，即.

故选：C.

【点睛】指、对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

8．已知直线与曲线交于三点，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】设，由已知可得，代入解析式两式相加得，求出可得答案.

【详解】因为三点在直线，，所以为的中点，

设，可得，

所以，

两式相加得，

，

所以，

整理得，

又因为，

所以有，

整理得，

因为，

所以，可得，

此时直线过点，则，

.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是得出为的中点，且求出点坐标.

二、多选题

9．设为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】举反例判断A选项，根据函数单调性判断B,C,D选项即可.

【详解】对于A：举反例，，，A错误；

对于B：为减函数，，，B正确；

对于C：在为增函数，，，C正确；

对于D：在有增有减，D错误；

故选：BC.

10．已知向量，，函数，则（    ）

A．函数最小正周期为

B．点是函数图象的一个对称中心

C．将函数图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称

D．将函数在上单调递增

【答案】AC

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】因为，，

所以

.

对于A：函数的最小正周期，故A正确；

对于B：，所以为对称轴，

不是对称中心，故B错误；

对于C：将向左平移个单位得到

为偶函数，函数图象关于轴对称，故C正确；

对于D：当时，所以函数在上单调递减，故D错误．

故选：AC

11．已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点靠近点，，与交于点，则（    ）

A． B．

C． D．的最小值为．

【答案】ABD

【分析】利用向量的线性运算可判定A；作，利用平行线性质得到，进而求得，得到，再进行计算，从而判定B；选为基底，表示平面上的所有向量，求得，进而平方计算求得的值，从而判定C；利用向量的中线公式和极化恒等式可计算求得，然后得到最小值，从而判定D.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：作，则，，

，故B正确；

对于C：选为基底，表示平面上的所有向量.

是边的三等分点靠近点，∴，

，

，，

，

，

，故C错误；

对于D：如图，

（极化恒等式）

，当且仅当重合时取“=”，

故的最小值为．故D正确.

故选：ABD.

12．已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（    ）

A．是等差数列 B．任意的，

C． D．

【答案】BC

【分析】可以通过特殊化处理方法判断A选项，通过作差比较判断B选项，通过放缩求通项判断C选项，通过的范围得到的范围.

【详解】，，，

对于A，，，，说明不是等差数列，A错误．

对于B，，B正确．

对于C：

，

，

，

累加得，

，,

令，，

，,

，

累乘得，,

令，，

故C正确；

对于D：

，

D错误．

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题作为选择题，可以利用特殊的办法判断选项，放缩法求通项时，关键在于这一步的范围问题.

三、填空题

13．已知向量，，若，则        ．

【答案】

【分析】由向量平行的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标计算求.

【详解】由得：，可得，

所以，则.

故答案为：

14．函数的最小值是          ．

【答案】/

【分析】根据二倍角公式，由换元法，结合基本不等式即可求解.

【详解】

令，可化为：

当且仅当即时取等号．

故答案为：

15．定义在R上的偶函数满足，当，，则函数在区间上零点的个数为          ．

【答案】2

【分析】因为得出周期为，当，，再由函数是偶函数得出的表达式及图象，则两者合在一起，恰好为一个周期，将图象进行延展下去，的零点个数转化为与的图象的交点个数问题.

【详解】，所以可得函数的对称轴，，

，

，

与相切于，其中，作出函数的大致图形，

观察与的图象的交点个数是2，

所以的零点个数是2.

故答案为：2.

四、双空题

16．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为           ，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为            ．(，)

【答案】     ；     .

【分析】先根据题意把第次操作所去掉的长度和求出来，然后再求和即可得到前次操作所去掉的长度，再建立不等式即可求出的最小值.

【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：，

第二次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，

第三次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，， .

以此类推，

第次将去掉个长度为的区间，即长度和为，

则的前项和可表示为

由题意知，，

两边同时取对数，即，

解得：

故答案为：；.

五、解答题

17．已知数列前项和，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即可；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可.

【详解】（1）由题知，

当时，，，，

当时，由得，

两式相减得：，  

又，，

数列的是以3为首项，3为公比的等比数列，；

（2），

,

,

,

，

得.

18．在中，内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若的面积为，求角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，

（2）根据面积可得，由正弦定理边角化，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）解法一：由余弦定理可得：，又，

故，即，

由正弦定理可得：

,

又，故，即,

解法二：由得，

，

，

,

故，即,

由于，所以

又，故，即

（2）由，即，

正弦定理可得：,

故

又，故

又，故或

当，结合，得

当，结合，得，

所以或

19．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）得出所有可能的取值，结合概率公式计算出对应的概率，得出分布列.

（2）由二项分布的概率公式计算即可得答案.

【详解】（1）设表示事件“作物产量为300kg”， 表示事件“作物产量为500kg”，

表示事件“作物市场价格为6元／kg”， 表示事件“作物市场价格为10元／kg”，

由题设知，，，

因为利润=产量市场价格－成本

所以所有可能的取值为，

，，

，

，

，

所以的分布列为：

（2）设表示事件“每季利润不少于2000元”，由（1）知，

，

设3季中季利润不少于2000元，则有，

则，

所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为.

20．如图，在三棱锥中，，二面角为直二面角．

(1)若，证明：平面ABD⊥平面ACD；

(2)若，，二面角的余弦值为．求CD的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 二面角为直二面角推出平面，所以，又，得到平面AB⊥平面ACD，进一步得平面ABD⊥平面ACD.

(2) 以的中点为坐标原点，分别以面内垂直于的直线、直线、直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设  ，分别求出平面和平面法向量，由面角的余弦值为，求出解得，则.

【详解】（1）因为二面角为直二面角， 所以平面平面.

又平面平面=，平面，，所以

，所以平面，又平面，所以，又，

，所以平面AB⊥平面ACD，又因为平面，所以平面ABD⊥平面ACD.

（2）如图，以的中点为坐标原点，分别以面内垂直于的直线、直线、直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设  ，因为，则，所以

，

设平面的法向量为，则，令，

得平面的一个法向量，

同理，得平面的一个法向量，

由二面角的余弦值为，有，

解得，则.

21．已知函数.

(1)判断函数零点的个数，并证明；

(2)证明：.

【答案】(1)有且只有一个零点，证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）先求函数的导数，并判断函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点个数；

（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的值域，和函数的值域比较，即可证明.

【详解】（1）函数的定义域，

当时时，，函数无零点，

当时，，单调递增，

又，且图象在上连续不断，

所以由零点存在定理得在上有且只有一个零点，

综上，有且只有一个零点.

（2）要证，即证，

令，其中，

则有，

令，则可化为，

因为，所以函数在单调递增，则，

由，，，

令得，列表如下：

由表可知：，即，仅当，等号成立，

由（1）可知，存在唯一的，使得，

即仅有唯一的，使得，

而，当，等号成立，

综上，与，等号不能同时成立，

故，即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．已知点，，直线与直线的斜率之积为，动点Q的轨迹是曲线C．

(1)求曲线C方程；

(2)直线与曲线C交于点P，过点P作两条斜率互为相反数的直线，，分别交曲线C于S，T两点，求证：的外接圆与直线l相切．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）曲线C上的任意一点，根据直线QA与直线QB的斜率之积为，列式构建之间的关系，则轨迹可求;

（2）将直线与椭圆联立方程，求出交点,再由设直线的方程，并于椭圆联立求出弦的中点，继而求出的垂直平分线，把斜率用它的相反数代换可得出的垂直平分线，并求出两垂直平分线的交点，最终可求斜率证明， 则结论可证.

【详解】（1）设曲线C上的任意一点，

直线QA与直线QB的斜率之积为

，

化简得：

直线QA与直线QB的斜率存在，

则曲线C方程是

（2）联立消去得，

解得，，则

设直线PS的斜率为，，PS的中点是

则PS的方程是

由得

则，

则线段PS的垂直平分线方程是  ①

同理线段PT的垂直平分线方程是  ②

①+② 得，

①-②得

即△PST的外接圆心

则直线PF的斜率为 ，

又，故

所以的外接圆与直线l相切

【点睛】方法点睛：探求轨迹问题的解题步骤（五步法）：

①建系设点，②寻找关系，③坐标代入，④化简整理，⑤检查修正.