2022-2023学年江苏省连云港市赣马高级中学高二下学期5月学情检测数学试题含答案

2022-2023学年江苏省连云港市赣马高级中学高二下学期5月学情检测数学试题

一、单选题

1．若随机事件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案.

【详解】.

故选：D

2．某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案；

方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率.

【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种），

至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种），

所以至少有1名男医生参加的概率为.

方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，

则至少有1名男医生参加的概率为.

故选：C．

3．已知点，则点到直线的距离是（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.

【详解】设，

可求得，

所以．

故选：B

4．的展开式中的系数为（    ）．

A．32 B．12 C． D．

【答案】C

【分析】利用二项展开式通项公式，即可求出结果．

【详解】由二项展开式通项公式知，

，所以要得到项，

则，，

故选：C．

5．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据分布列概率的性质得到m的值，再由均值公式得到结果.

【详解】由，得，所以．

故选B

【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.

6．如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且.若该容器模型的体积为cm3，则该容器模型的表面积为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据体积求得模型的高，进而求得侧面的高，从而求得模型的表面积.

【详解】依题意可知，上底面边长为，下底面边长为，

设模型的高为，则，

所以侧面等腰梯形的高，

所以模型的表面积为.

故选：A

7．空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据求平面的法向量，逐项分析判断即可.

【详解】由题意可得：，

设平面的法向量为，则，

令，则，即.

对A：若，由，可得：与不共线，

故不是平面的法向量，A错误；

对B：若，由，可得：与不共线，

故不是平面的法向量，B错误；

对C：若，则，即与共线，

故是平面的法向量，C正确；

对D：若，由，可得：与不共线，

故不是平面的法向量，D错误；

故选：C.

8．高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（    ）

A．42种 B．96种 C．120种 D．144种

【答案】C

【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.

【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，

所以课程编排方案共有种，

故选：C.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则正整数x的值是1

【答案】ABC

【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.

【详解】选项A，因为，故A正确；

选项B，，故B正确；

选项C，由，

，得，故C正确；

选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.

故选：ABC.

10．设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．

【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，

所以，

，

∴，，

故选：BD．

【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.

11．已知，则（    ）

A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1012项

C． D．

【答案】AC

【分析】选项A，令，由此即可求解；选项B，根据的值以及二项式系数的性质即可求解；选项C，分别令，，建立方程即可求解；选项D，先对已知关系式求导，然后令，即可求解.

【详解】选项A，令，则展开式的各项系数和为，A 选项正确；

选项B，因为，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；

选项C，令，则，令，则，

所以，C选项正确；

选项D，已知关系式两边同时取导，则，

令，则，D选项错误；

故选：AC.

12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．四面体是鳖臑

B．阳马的体积为

C．若，则

D．到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.

【详解】A错，连接AC，则△中，，

则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；

B对，.

C对，

D对，设到平面的距离为d，

又，

由，得，则到平面的距离为

故选：BCD

三、填空题

13．已知，，则等于         .

【答案】

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求得正确答案.

【详解】由于，

所以.

故答案为：

14．展开式中项的系数为          ．

【答案】

【分析】根据二项式定理将每个幂次展开，在展开式中找出项的系数求和即可.

【详解】因为展开式的第一项没有的项，

所以展开式中的系数为.

故答案为：．

15．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为      .

【答案】0.07/

【分析】利用条件概率即可求得从这20块芯片中任取1块芯片取得的芯片是次品的概率.

【详解】记“20块芯片中任取1块芯片，取得的芯片是次品”为事件B，

分别记从这20块芯片中任取1块芯片，则该芯片为甲、乙、丙生产为事件

则，

则

故答案为：0.07

16．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为      ．

【答案】36π

【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，

可得 ，解得r=3.

球O的表面积为： .

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

四、解答题

17．一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．

(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；

(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.

（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【详解】（1）可能的取值为0，1，2，3，

，，，，

概率分布列为：

（2）设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，

则，     

由条件概率公式可得，

所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.

18．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为．

(1)甲、乙两队比赛1场后，求乙队积3分的概率；

(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，分别求出其概率，进而可求出结果；

（2）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．

【详解】（1）（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，当乙队以3：0获胜时，，当乙队以3：1获胜时，，

所以甲、乙两队比赛1场后，乙队积3分的概率为.

（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，

设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，

因两队积分相等，所以，即，则，

而，

，

，

所以

．

19．如图所示，在四棱锥中，底面，，∥，，.点E为棱的中点，求证：

(1)；

(2)∥平面；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可，

（2）求出平面的法向量，利用向量法证明即可

【详解】（1）因为平面，平面，平面，

所以，

因为 ，

所以两两垂直，

所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

所以，

所以，所以，

所以，

（2）平面的一个法向量为，

因为，所以，

因为平面，所以∥平面；

20．已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.

（1）求的标准方程；

（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程．

（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．

【详解】（1）解：由题意解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，

故设的方程为，，，

联立方程得消去，整理得，

∴，，，

，

当且仅当时等号成立，此时：，

所以面积的最大值为．

【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．

21．已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点．

(1)求与所成角的大小；

(2)求与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)60°；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；

【详解】（1）以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，，

所以，，设与EF所成角的大小为，

则，

因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．

（2）设平面的法向量为，与平面所成角为，．

因为，，所以，，

所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，

所以，

所以．

22．已知函数，过曲线上的点的切线方程，在时有极值.

（1）求的表达式；

（2）求在上的单调区间和最大值.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）利用切线方程和极值列方程组求出a、b、c，即可得到的表达式；

（2）利用导数求出单调区间和最大值.

【详解】（1）由题知：

可得解得，

∴

（2），（）

令，得或

列表得：

又∵，

∴时，，

时，为单调递增函数，

时，为单调递减函数，

时，为单调递增函数.