2024届江苏省连云港市灌南高级中学高三上学期假期检测（一）数学试题含答案

2024届江苏省连云港市灌南高级中学高三上学期假期检测（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集定义直接得结果.

【详解】，

故选：D.

【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．若集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的包含关系，列出的不等关系，求解即可.

【详解】集合，，若

则，即的取值范围是.

故选：D.

3．设x，，则“”是”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】x，，若满足，则，即不成立；

若，即有，必有，从而得，即成立，

所以是成立的必要不充分条件.

故选：B

4．已知正实数，满足，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．

【详解】，，

由得，

即，

，当且仅当时取等号．

故选：C

5．若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.

【详解】因为命题“，”是假命题，

所以命题“，”是真命题，

若，即或，

当时，不等式为，恒成立，满足题意；

当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；

当时，则需要满足，

即，解得，

综上所述，的范围是，

故选：B.

6．若，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.

【详解】解：因为函数是减函数，

所以，

又函数在上是增函数，

所以，

所以，即，

，

所以.

故选：B.

7．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】求出幂函数 f(x) 的解析式，再通过导数求出函数 g(x) 的单调性，从而求得最值.

【详解】

设，∵幂函数的图象过点，∴∴，∴，

∴，

当且仅当“”时取等号，

∴函数·在区间上的最小值为5．

故选：C．

8．函数定义域均为，且，.若为偶函数，，则（    ）

A．10 B．13 C．14 D．39

【答案】C

【分析】根据所给条件化简得，结合为偶函数，，可计算得，，，，从而根据分别计算至的值，再计算的值即可.

【详解】，，

又，，

，，

则，得，

，，

因为为偶函数，所以，

所以， 由，

得，则，，

，，

，，

，，

，

.

故选：C

二、多选题

9．已知满足且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.

【详解】因为满足且，所以，，符号不确定，

选项A：因为，，所以，选项A正确；

选项B：因为，，所以，，选项B正确；

选项C：因为，，

当时，，所以；

当且时，，所以，选项C错误；

选项D：因为，，所以，，选项D正确；

故选：ABD

10．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．

【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，

则，解得

又，，

故选：CD．

11．给出下列说法，错误的有（    ）

A．若函数在定义域上为奇函数，则

B．已知的值域为，则a的取值范围是

C．已知函数满足，且，则

D．已知函数，则函数的值域为

【答案】ABD

【分析】由奇函数的定义可判断A，函数的值域满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．

【详解】对于A，函数为奇函数，

所以，，即，即，

即，整理可得，即，

所以，，解得，

当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，

当时，，

由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.

综上所述，，故A错误；

对于B，因为的值域为，

则函数的值域满足，

则，解得，故B错误；

对于C，函数满足，则，

故的周期为，因为，则，故C正确；

对于D，因为，，

由，得，解得，

即函数的定义域为．则，

又

，

故函数的值域为，故D错误：

故选：ABD.

12．下列说法正确的有　　

A．若，则的最大值是

B．若，则的最小值为2

C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4

D．已知，，且，则最小值是

【答案】AD

【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．

【详解】对于，由可得，

由基本不等式可得，

当且仅当即时取等号，

所以的最大值为，故正确；

对于，，

当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，

则最小值不为2，故错误；

对于，由可得

，

当且仅当且，即，，时，等号成立，

由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；

对于，由可得，

代入到，

当且仅当即时，等号成立，故正确．

故选：．

三、填空题

13．计算求值：      .

【答案】

【分析】根据指对数运算性质计算即可.

【详解】解：因为；

.

所以

故答案为：

14．已知集合，，且，则的子集有        个.

【答案】16

【解析】根据交集的定义，结合并集的定义、子集个数公式进行求解即可.

【详解】因为，所以有，因此，，

所以，因为的元素共有4个，因此的子集有个.

故答案为：16

15．函数的最小值是          .

【答案】

【解析】函数式变形后用基本不等式求得最小值．

【详解】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是把函数式变形，凑出积为定值，则和可得最小值，但要注意等号成立的条件．

16．已知函数若对任意，，且，都有.则实数的取值范围为      .

【答案】

【解析】由得函数是增函数，然后由分段函数的两段均为增函数，且左侧端点不高于右侧端点．由此可得参数范围．

【详解】由题意，函数在和上都是增函数，且的图像在上的最高点不高于函数在上的最低点，即解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】(Ⅰ)设出公差，借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用裂项相消法求解．

【详解】(Ⅰ)设 的公差为 ，．

，．

联立方程 ，解得

．

(Ⅱ)

．

18．设锐角三角形的内角，，的对边分别为

（1）求B的大小；

（2）求 的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由，根据正弦定理得

，

所以，

由△ABC为锐角的三角形得

（2）

由△ABC为锐角的三角形知，

所以，，

，

由此有，

所以，的取值范围为

19．如图，在直三棱柱中，已知，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）通过判断条件可知四棱锥的高为，采用体积公式求解即可

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出是平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角的大小

【详解】(1)因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高

四棱锥的体积为

(2)如图建立空间直角坐标系

则，，，，

设AC的中点为M，，，平面，即是平面的一个法向量

设平面的一个法向量是，，

令，解得，

设法向量与的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角

，

二面角的大小为

【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题

20．已知函数

1)若a=1,求曲线在点处的切线方程

(2)若在R上单调递增,求实数a的取值范围

【答案】（1）（2）

【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；

（2）求出导数，若是单调递增函数，则恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围．

详解：

(1)

（2）

所以在上单调递增，在上单调递减

所以.

点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．

21．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．

(1)求在前4球中，甲领先的概率；

(2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是和的概率，即可得答案；

(2) 依题意，甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X的分布列.

【详解】（1）解：甲与乙的比分是的概率为

比分是的概率为，

故前4球中，甲领先的概率

（2）解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，

则甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．

记比分为5：0为事件A，

则，

记比分为5：2为事件B，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，

，

故依题意甲获胜的概率为

X的所有可能取值为3，5，

由条件概率有，

故X的分布列为

22．已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.

【答案】(1)

(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；

（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，

所以有；

（2）由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，

，

则有，

设，则有，

显然的坐标为，

所以由

，

把代入上式，得

，或

当时，直线方程为，过定点，

当时，直线方程为，过定点，

不符合题意，

因此直线过定点.

【点睛】关键点睛：根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.