2023届广东省罗定中学城东学校高三上学期9月调研数学试题含答案

这是一份2023届广东省罗定中学城东学校高三上学期9月调研数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省罗定中学城东学校高三上学期9月调研数学试题 一、单选题1．设集合，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出集合A、B，结合交集的定义即可得出结果.【详解】，，所以.故选：C.2．已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a等于（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，根据纯虚数的概念列式计算，即得答案.【详解】由题意得，因为它为纯虚数，所以，解得，故选：D.3．已知向量，，．若，则实数的值为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.4．设是等比数列，且，，则（    ）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5．在中，“”是“”（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】充分性根据条件可直接得到，必要性利用正弦定理及三角形的性质也可直接得到.【详解】，充分性成立；，必要性成立；“”是“”的充要条件.故选：C.6．将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列举出所有可能的结果，找到个不相邻的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】个和个随机排成一行，基本事件有：，，，，，，，，，，共种；其中个不相邻的有：，，，，，，共种；所求概率.故选：C.7．为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC(单位：海里)为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件分别得到，，，再结合正弦定理，即可求解．【详解】解：由题意可得，，，在中，运用正弦定理得，． 故选：D．8．如图为函数的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则可以表示为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先利用图象求出函数的解析式，然后利用平移变换可得出函数的解析式.【详解】设函数的最小正周期为，则，，所以，，由于是函数图象的一个对称中心，且函数在附近单调递减，所以，，则，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，同时也考查了三角函数图象的相位变换，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、多选题9．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则与所成的角和与所成的角相等【答案】BCD【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理判断即可；【详解】解：对于A．若，，，则或与平行或，与相交不垂直，故A错误；对于B：，设过的平面与交于，则，又，，，B正确；对于C：，内的所有直线都与平行，且，，C正确；对于D：根据线面角的定义，可得若，，则与所成的角和与所成的角相等，故D正确．故选：BCD．10．已知函数，其中正确结论的是（    ）A．当时，有最大值；B．对于任意的，函数是上的增函数；C．对于任意的，函数一定存在最小值；D．对于任意的，都有.【答案】BC【分析】利用导数研究函数的性质即可.【详解】，当时，，函数，都是单调递增函数，易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误；对于任意的，函数，都是单调递增函数，则函数是上的增函数，故B正确；当时，，，故，D错误；对于任意的，，易知在单调递增，当时，，当时，，∴存在，当时，，函数单调递减，，，函数单调递增，∴，故C正确，故选：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.11．设，，则下列结论正确的是（    ）A．不等式恒成立B．函数的最小值为2C．函数的最大值D．若，则的最小值为【答案】AC【分析】化简函数表达式，利用基本不等式求各函数的最值，确定正确选项.【详解】解：因为，，，当且仅当时取等号，A正确；因为，则，当且仅当，即时取等号，但，故B错误；，当且仅当，即时取等号，C正确；因为，所以，则，当且仅当中时取等号，D错误.故选：AC.12．下列说法正确的是（    ）A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则B．设随机变量X服从二项分布，则C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则D．已知随机变量X服从正态分布且，则【答案】ABC【分析】对于A：由，解之可判断；对于B，根据二项分布可判断；对于C，根据两点分布计算可判断；对于D：根据正态分布的对称性可判断；【详解】对于A：对于，故A正确；对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；对于C，因为且，故C正确；对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.，D错误；故选：ABC. 三、填空题13．设向量，且，则＝        .【答案】【详解】根据两向量垂直，可得，解得.故答案为：. 14．已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数     .【答案】2或－4【解析】求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.15．已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为      ．【答案】【分析】首先写出展开式的通项，根据常数项为求出，即可得解；【详解】解：的二项展开式的通项，令，解得，则其常数项为，则．由，故．又的展开式中，项为，故项的系数为．故答案为：16．已知函数定义域为，值域为，则的最小值是        ．【答案】【分析】利用三角恒等变换公式化简函数为正弦型函数，根据值域可确定整体的范围，进而得到最小时对应的角，从而得到结果.【详解】；，，，若最小，则且，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值域的应用问题，解题关键是能够通过值域确定角整体所处的范围，利用整体对应的方式确定取得最值的位置. 四、解答题17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；           （2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.19．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与底面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由线面垂直和正方形的性质可得，，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）连接，可证得平面平面，根据垂直关系可知所求角为，根据垂直和长度关系可得结果.【详解】（1）平面，平面，；四边形为正方形，，又平面，，平面；（2）连接，分别为中点，，又，，四点共面，平面平面；，平面，平面，又平面，，又，平面与底面所成角即为，平面，平面，，又，，又，，，即平面与底面所成角的余弦值为.20．一位同学分别参加了三所大学招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为、、，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．（1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；（2）设该同学通过笔试的大学所数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为【分析】（1）利用独立事件概率公式，结合对立事件公式，即可求解；（2）首先由条件分析可知，再分别计算每一个随机变量对应事件的概率，再求分布列和数学期望.【详解】（1）设该同学分别通过三所大学笔试的的事件为 该同学至少通过一所大学笔试的概率，所以该同学至少通过一所大学笔试的概率为；（2）由条件可知，，；；，分布列如下图， 21．已知椭圆C：的上端点为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点．若，分别为直线，的斜率，求的值【答案】(1)；(2)-1【分析】(1)由题意可求出，，进而得到椭圆方程；(2)设直线l方程和点，，将直线方程代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得、，进而得到的表达式，化简求值即可.【详解】解：（1）由题意知，，又∵，∴，.故椭圆C的方程为.（2）易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，即，将代入得，由题设可知，设，，则，，∴.22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.【详解】（1） 的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.