2023届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2023届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：求出集合后可求.

【详解】[方法一]：直接法

因为，故，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

代入集合，可得，不满足，排除A、D；

代入集合，可得，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

2．“”是“函数的定义域为R”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.

【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.

i.时，对任意恒成立；

ii. 时，只需，解得：；

所以.

记集合,.

因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.

故选：B.

3．已知，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式的性质判断.

【详解】A. 当时， ，故错误；

B. 当时，，故错误；    

C. 当时，，不成立，故错误；

D. 由，则，则，故正确；

故选：D

4．方程的解的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】将题意转化为的图象与的图象交点的个数即可得结果.

【详解】∵，∴.而的图象如图，

∴的图象与的图象总有两个交点，

即方程的解的个数是2，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了方程根的问题，利用数形结合思想是解题的关键，属于基础题.

5．已知，，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】研究函数的奇偶性、单调性，将变形到函数的单调区间上且比较大小，然后运用函数单调性可得结论.

【详解】因为，是偶函数，

且时，是增函数，

，，，

，

而，所以，

即．

故选：A．

6．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.

【详解】函数定义域为，，

则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；

当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.

故选：D

7．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（    ）倍（参考数据：）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

【答案】B

【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果

【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，

则，即，从而，

即载波频率变为原来约2倍.

故选：B．

8．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.

【详解】因为函数 在上单调递减，

所以函数在上单调递增，且在上恒成立，

所以，解得.

故选：B

二、多选题

9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的（    ）

A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2

C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】在条件下结合基本不等式可以对每一个选项作出正确的判断.

【详解】由，当时等号成立，所以A正确；

，所以的最小值为2，故B不正确；

由，，当时等号成立，故C正确；

由，，当时等号成立，故D正确.

故选：ABD.

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．在上为增函数

B．

C．若在上单调递增，则或

D．当时，的值域为

【答案】BC

【分析】结合分段函数的单调性对选项逐一辨析即可.

【详解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，

，，B正确；

若在(a，a＋1)上单调递增，则或，即或，故C正确；

当时，，当时，，

故时，的值域为，故D错误.

故选：BC.

11．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.

【详解】由于，

，，，，

即函数的定义域为

当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；

当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；

即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.

12．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．当时，的零点有6个

C．

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性的性质化简整理即可得出.

【详解】对A，因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，故A正确；

对B，因为的变化情况不确定，所以无法确定零点个数，故B错误；

对C，因为为奇函数，所以，因为函数为偶函数，所以，则，所以，故C正确；

对D，由C选项可得是周期为4的函数，因为为奇函数，所以，

所以，，，

所以，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知函数，则      ．

【答案】

【分析】根据分段函数的定义及指数幂与对数的运算法则即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以

故答案为：.

14．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是            .

【答案】

【分析】根据偶函数的性质得到时，即可将不等式化为，解得即可.

【详解】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，

又，所以，所以当时，

则不等式等价于，解得，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

15．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.

【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，

当时，是增函数，函数的值域为，

当时，是减函数，当时，，，

当时，是增函数，当时，，

在坐标平面内作出函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点，

所以实数的取值范围是：.

故答案为：.

16．函数在上的所有零点之和为       .

【答案】8

【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，再利用函数的对称性，可求零点的和.

【详解】函数，即，

函数和都关于对称，

所以函数和的交点也关于对称，

根据余弦函数的周期性，画出两个函数在区间的函数部分图象，

两个函数图象有8个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.

故答案为：8.

四、解答题

17．盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．

(1)求取到2个标有数字1的球的概率；

(2)设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）根据古典概型的公式，求的总数和符合题意事件的个数，可得答案；

（2）列出分布列，并求随机变量X的分布列及数学期望；

【详解】（1）取到2个标有数字1的球的概率为

（2）从6个球中任意取出3个球的取法总数为， X的取值范围是.

，，，;

所以X的分布列为：

故

18．在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中．

(1)若，且，求边长c；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.

（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】（1）依题意，，

由正弦定理得，即，

，

由于，所以，则，

由正弦定理得.

（2）依题意，，

由正弦定理得，

由于，，所以，

由于，所以为锐角，所以，

则，

，

由正弦定理得，

所以.

19．已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）设数列的公比为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列和的通项公式；

（2）求得，利用裂项相消法可证得结论成立.

【详解】（1）解：设数列的公比为，则，

由题意知，可得，解得，

所以，，．

（2）证明：因为，

所以.

20．已知函数是奇函数.

（1）求实数，的值；

（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用奇函数的定义可构造方程求得结果；

（2）将不等式转化为，令，可将不等式化为，根据二次函数性质，分别在和两种情况下求得，利用可求得结果.

【详解】（1）当时，，则，

为奇函数，，

，

即恒成立，，解得：，

当时，同理可得：，

综上所述：.

（2），，原不等式化为，

令，则，原不等式进一步化为：在上恒成立.

记，.

①当，即时，，；

②当，即时，，解集为.

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是能够通过换元法将问题转化为含参数的二次函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式可求得二次函数的最值；易错点是在换元时，忽略新参数的取值范围，造成求解最值时出现错误.

21．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求使取最小值时直线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】（Ⅰ）由离心率及，可得出，，进而写出椭圆的方程；

（Ⅱ）进行分类讨论，①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不满足题意；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，分别将直线与的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出和的表达式，然后利用弦长公式求出的表达式，然后利用基本不等式求出取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.

【详解】（Ⅰ）由题意知，，又，解得，，所以椭圆方程为；

（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知，不满足条件；

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，

则直线CD的方程为，设，，

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得 ，则，，

所以，

同理， ，

所以+=≥ ，

当且仅当即时，上式取等号，所以直线AB的方程为或．

【点睛】易错点点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力和的分析计算能力，属于中档题.

22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求、的值；

（2）求证：当，时，不等式恒成立

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）求导得，由题意可得，即可得解；

（2）构造函数，，求导后可得，构造函数，，求导后可得，进而可得函数在上单调递增，即可得证.

【详解】（1），，

，，

将点代入切线方程得，可得，

，解得；

（2）证明：由（1）得，

当，时，要证不等式，即证，

当时，先证，

构造函数，，

则，

构造函数，，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，则，

函数在上单调递增，

即当时，，

则当，时，，

当，时，不等式恒成立.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.