2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收（开学测试）数学试题含答案

2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收（开学测试）数学试题

一、单选题

1．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐一判断各个命题即可作答.

【详解】显然，，①③正确；

，②正确；

在中，当时，，即有，

因此，④正确，

所以正确命题的个数是4.

故选：D

2．下列选项中表示同一函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】D

【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.

【详解】对于A，的定义域为，而定义域为R，

故二者不是同一函数；

对于B，的定义域为R，与的定义域为，

故二者不是同一函数；

对于C，与对应关系不同，

故二者不是同一函数；

对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同，

故二者为同一函数，

故选：D

3．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得或，即，

解不等式，得，于是，

所以.

故选：C

4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.

【详解】由函数的定义域为，即，得，

因此由函数有意义，得，解得，

所以函数的定义域为.

故选：D

5．已知，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．4

【答案】B

【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】设，，则，，

，当且仅当，即，时，等号成立.

故选：B.

6．已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可作答.

【详解】当时，，

当且仅当，即时取等号，依题意，，即，

当时，，若，则当时，，解得，符合题意，

若，则当时，，解得，矛盾，

所以实数的值为.

故选：A

7．已知且，若把，，按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.

【详解】法一：特殊值法.

令，，则，

，而

，所以，所以中间数为.

法二：不等式的性质

由题意，，所以，所以，

又，所以’

又，所以’

所以，所以中间数为.

法三：构造函数

，，，

问题变为比较，，的大小.

构造函数，

很显然，为两个增函数的和，在为增函数，所以，

所以，

所以，即.

故选：B.

8．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，并求出的值，再利用单调性脱去法则“f”求解作答.

【详解】对满足，且当时，，

，且，则，有，

于是，因此在上单调递增，

又，解得，

从而，则，解得或，

所以原不等式的解集是.

故选：D

二、多选题

9．若，则下列说法一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，因为，可得，所以成立，所以A正确；

对于B中，由，因为，可得，而符号不确定，所以和不能确定，所以B错误；

对于C中，由，

因为，可得，，

所以，即，所以C正确；

例如：当时，可得，此时，所以D错误.

故选：AC.

10．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．定义域为 B．值域为

C．为定义域内的增函数 D．为内的增函数

【答案】AD

【分析】求出函数定义域并化简函数，再逐项分析判断作答.

【详解】函数有意义，则，解得或，，

函数的定义域为，A正确；

由于，B错误；

而，则函数在不是增函数，C错误.

函数在上单调递减，在上单调递减，因此函数在上单调递增，D正确.

故选：AD

11．下列命题中是假命题的是（    ）

A．命题：“，”的否定为：“，”

B．设，，且有四个子集，则实数的取值范围是

C．已知：，：，是的充分不必要条件

D．方程有一个正实根，一个负实根，则

【答案】ABC

【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结合集合中元素的特征求的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可.

【详解】A选项：命题“，”的否定为：“，”，故A错；

B选项：，因为有四个子集，所以中有两个元素，则，且，即，，故B错；

C选项：表示所有奇数，表示部分奇数，所以是的必要不充分条件，故C错；

D选项：设方程得两个根分别为，，因为方程有一个正根，一个负根，所以，解得，故D正确.

故选：ABC.

12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数，则下列命题正确的是（    ）

A．不是“封闭”函数

B．定义在上的函数都是“封闭”函数

C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数

D．若是“封闭”函数，则在区间上单调递减

【答案】ABC

【分析】利用特殊值，可判定A错误；根据函数的新定义，得到，必有，可判定B正确；根据函数的定义，得到，可判定C正确；根据函数的定义，以及单调性的定义，可判定D错误.

【详解】对于A中，函数，当时，，

而，所以 A正确；

对于B中，对于区间，，使得，即，必有，所以定义在上的函数都是“封闭”函数，所以B正确；

对于C中，对于区间，，使得，即，

因为都是“封闭”函数，则，

即，都有，

对于区间，，使得，则，

而，， ，

所以，

即，故，其中，

当时，可得，所以函数都是“封闭”函数，所以C正确；

对于D中，若函数是“封闭”函数，

则当时，都要，

所以，即时，都有，即，

所以在区间上单调递增，所以D错误.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：

1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；

2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.

三、填空题

13．函数的单调递增区间为      .

【答案】

【分析】先求出对数型函数的定义域，再结合二次函数和复合函数单调性的性质进行求解即可.

【详解】由，或，

所以该函数的定义域为，

二次函数的对称轴为，

因为函数是正实数集上的减函数，

所以函数的单调递增区间为二次函数的递减区间，

即为，而，

所以的单调递增区间为，

故答案为：

14．关于的不等式的解集为，则的解集为      .

【答案】

【分析】由给定的解集用表示，再代入求解一元二次不等式作答.

【详解】不等式的解集为，则，且，即，

因此化为：，即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

15．关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】将不等式化为不等式，根据有解确定，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a的不等式，即可求得答案.

【详解】不等式即不等式，

若，则即，整数解有无数个，不合题意，

故，

由于关于的不等式的整数解恰有3个，

故需满足，解得；

则解可得，

因为，故，

故不等式的3个整数解恰为，

则，解得，即，

故答案为：.

16．若是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.若是由个正整数构成的集合，则其生成集中元素个数的最小值为      .

【答案】n-1

【分析】根据生成集的定义判断即可.

【详解】由题意可得，当集合中的个元素从小到大排列成等差数列时其生成集中的元素个数最少，

设个元素分别为，且，则集合，所以生成集中元素个数最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集的定义求解作答.

（2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答.

【详解】（1）解不等式，得，即，

当时，，，

所以.

（2）由（1）知，，由，得，

当，即时，，满足，因此；

当，即时，，即有，

则，解得，因此，

所以实数的取值范围.

18．已知关于的不等式，.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若“不等式的解集为”为假命题，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把代入，解一元二次不等式作答.

（2）求出命题“不等式的解集为”为真命题的a的范围，再求其补集作答.

【详解】（1）当时，不等式化为：，解得或，

所以所求不等式的解集为.

（2）当不等式的解集为时，即恒成立，

因此，解得，

所以“不等式的解集为”为假命题时，的取值范围是.

19．已知函数.

(1)当，时，求函数的值域；

(2)若，且，，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，结合函数的极值（最值），即可求解；

（2）根据题意，设，转化为在上恒成立，设，转化为在上恒成立，得到在上恒成立，令，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：当时，函数，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以函数的极小值为，极大值为，

因为，当且进度时，等号成立，

可得当时，；当时，，

所以函数的最大值为，最小值为，

所以函数的值域为.

（2）解：当时，可得且，

对，可得，设，

则不等式，即为，即在上恒成立，

设，可得，即在上恒成立，

因为，可得，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，且，

则满足，即解得，

即实数的取值范围是.

20．已知函数.

(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若函数在内单调递减，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）根据函数的导数与单调性的关系，结合常变量分离法，通过构造函数，利用二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

化为一般式为：；

（2），

因为函数在内单调递减，

所以当时， 恒成立，即恒成立，

设，，

即当时，恒成立，

当时，，当时，显然；

当时，要想时，恒成立，

因为，所以只需，

当时，要想时，恒成立，

因为，所以只需，

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用常变量分离法，利用二次函数的性质分类讨论.

21．今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁。哈尔滨五常市某农场已发现有的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天的速度扩散.灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴.若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作，渗水造成总损失为元（总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用）.

(1)写出关于的函数解析式；

(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失.

【答案】(1) ；

(2)元.

【分析】（1）根据的关系，结合总损失的计算方法进行求解即可；

（2）利用基本不等式进行求解即可.

【详解】（1）因为每位救援人员每天可抢修农田，需要天完成抢修工作，

所以可得，

显然可得，且，

因为总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用，

所以，

把代入中，得 ；

（2）

即，当且仅当时取等号，即当时取等号，

所以应安排名人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为元.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)求证：，.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）分、、和四种情况讨论的单调性即可；

（2）根据（1）中的结论得到，然后利用放缩的思路证明不等式成立即可.

【详解】（1）的定义域为，，

当时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，上单调递减；

当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减；

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减；

综上所述，当时，在上单调递增，上单调递减；

当时，在，上单调递增，上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，上单调递减.

（2）当时，由（1）可得，，

因为，所以，则，即，

所以

，

即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式成立问题的方法：

（1）直接构造函数：例如证明成立，可转化为证明，进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造：根据已知条件适当放缩或根据常见结论放缩；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.