2023届江苏省扬州市仪征中学高三上学期期初学情检测数学试题含答案

这是一份2023届江苏省扬州市仪征中学高三上学期期初学情检测数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省扬州市仪征中学高三上学期期初学情检测数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据对数函数性质确定集合，然后由交集定义计算．【详解】由题意，∴．故选：C．2．已知是关于x的方程的根，则实数（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为由韦达定理得，所以 故选：B3．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】将，代入，得到，再解方程即可.【详解】由题知：将，代入，得：，化简得.即，解得.故选：A5．的二项展开式中，奇数项的系数和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，令、计算即可求解.【详解】设，令可得，令可得，两式相加可得：，所以奇数项系数之和为，故选：C.6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．故选：D．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上且位于第一象限，满足，的平分线与相交于点B，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：首先设，，在与中，求的值，求得，中，由勾股定理即可求得离心率；解法二：首先设，，再利用椭圆定义，角平分线定理，以及勾股定理，分布列式，化简为关于的齐次式子，即可求解离心率.【详解】解法一  设，，则.由，得.因为，所以.在与中，，所以，即，得.因为，所以，所以，得，即，则，于是在中，由勾股定理，得，整理得，得，故选：D.解法二  设，，由得，.因为，所以，在中，由勾股定理，得①.由椭圆的定义得②.因为平分，所以，即③，联立①②③并化简得，则，得.故选：D.8．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，求导得其单调性，再利用单调性，即可判断出的大小关系.【详解】设，，因为，令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，而，，，因为，所以．故选：A． 二、多选题9．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象C．在上单调递增D．点是图象的一个对称中心【答案】ACD【解析】A选项用三角函数最小正周期公式确定正确性，B选项根据图象变换确定正确性，C选项通过求单调区间来确定正确性，D选项利用代入法确定正确性.【详解】的最小正周期为，故A选项正确.的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.由，，所以在上单调递增，C选项正确.，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.故选：ACD10．下列命题正确的是（    ）A．若为复数，则B．若为向量，则C．若为复数，且，则D．若为向量，且，则【答案】AD【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】令，，，，，，，A对；，不一定成立，B错；，，，，，C错．将两边平方并化简得，D对.故选：AD11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（    ）A．正四棱台的体积为B．正四棱台的外接球的表面积为104πC．AE∥平面D．到平面的距离为【答案】BCD【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部，根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D.【详解】正四棱台的体积为，，故A错误；连接相交于，连接相交于，如果外接球的球心在正四棱台的内部，则在上，，因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，设外接球的半径为，所以，即，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，则在延长线上，，因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，设外接球的半径为，所以，即，解得，所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；取的中点，连接，，连接，所以，所以是的中点，因为，所以，又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，因为，所以，平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令可得，到平面的距离为，故D正确.故选：BCD. 三、单选题12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（    ）A．竞聘者第1环节考核通过的概率为B．若竞聘者第1环节考核通过个项目，则的均值C．竞聘者第2环节考核通过的概率为D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以上【答案】B【分析】设分别为两个环节第个项目通过，则，然后根据相互独立事件的概率的求法逐个分析判断即可【详解】设分别为两个环节第个项目通过，则，且间相互独立，对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为，所以A错误，对于B，由题意可得可能取0，1，2，3，则，，，，所以，所以B正确，对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为 ，所以C错误，对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确，故选：B 四、填空题13．已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为      ．【答案】【分析】根据函数的性质，由，可知 是周期函数，且为偶函数，以及关于直线对称，结合这些性质即可求解.【详解】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为．故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）14．已知，，，，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足，则的值为          .【答案】【分析】先求得，利用余弦定理求得，利用等面积法求得，根据数量积的定义求得.【详解】，由于，所以，，，由于，所以，，所以，所以.故答案为：  15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为       ．【答案】【分析】由题意可得数列为等差数列，进而可得，及，利用基本不等式可得最值.【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为，公差为的等差数列，所以，，从而，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故答案为：.16．已知恰好有三个零点，则实数a的取值范围是           .【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．【详解】当时，，，故在上单调递增；当时，，由可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，由图象可知要使恰好有三个零点，即函数f（x）的图象与x轴有三个交点， 只需0≤a＜2，故答案为：[0，2）. 五、解答题17．已知数列的首项，(1)求证数列为等比数列；(2)记，若，求n的最大值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，得到，求得的值，即可求解．【详解】（1）解：由，可得，又由，可得所以数列表示首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，所以当时，可得；当时，可得，所以的最大值为．18．已知锐角中，角、、所对边为、、，且．(1)求角；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以．（2）解：因为，，由正弦定理，有所以，，所以，又因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，从而的取值范围为．19．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明，再根据勾股定理证明，进而根据线面垂直得到平面，从而根据面面垂直的判定证明即可（2） 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面．又平面，所以．又因为，，所以，所以．又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（2）以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，，，，．设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，且，，，，因为所以令，则，，所以．又因为所以令，则，，所以．所以．设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为．20．日前，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》.其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以100元罚款，为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表∶ 知晓不知晓总计年龄≤60163450年龄>6096675总计25100125参考公式∶，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根据以上统计数据，是否有的把握认为知晓规定与年龄有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 位市民，记被抽取的位市民中知晓规定的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)有的把握认为知晓规定与年龄有关(2)分布列见解析， 【分析】（1）计算，比较临界值，能求出是否有的把握认为知晓规定与年龄有关；（2）根据次独立重复试验，计算概率，能求出的分布列及数学期望．【详解】（1），有的把握认为知晓规定与年龄有关．（2）随机抽取一位市民知晓规定的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为：01234，．21．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足，过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点.(1)求证：直线与轴相交于定点；(2)试探究轴上是否存在定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；设直线方程，联立方程组，通过可得的值，即可求出定点坐标；（2）由题意得出轴为的角平分线，将韦达定理代入所给条件求解即可．【详解】（1）解：在，即，解得，所以，故抛物线为，易知直线的斜率不为，故设，，，联立，故，，所以，因为，则，则或（舍，故．（2）解：假设存在设，其中，因为，那么，则轴为的角平分线，若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，则直线的方程为，此时，而，相异，故，同理故与的斜率互为相反数，即为定值．故当时，恒成立．22．已知函数（为自然对数的底数）.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.（2）解：对恒成立令，，，在上单调递减，，若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.若，即时，（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.综上：实数的取值范围为.