2023届陕西省商洛市山阳中学等校高三上学期第一次联考数学（文）试题含答案

2023届陕西省商洛市山阳中学等校高三上学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可求解.

【详解】由，得，

即，又，

所以．

故选：A.

2．若为实数，且，则（    ）

A． B．0 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算，结合相等复数的概念即可求解.

【详解】∵，∴，∴．

故选：C.

3．不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的求法，计算即可.

【详解】原不等式可化为，

有且，解得且．

故选：D.

4．实数，满足，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由不等式的性质和指数函数、对数函数性质进行辨析即可.

【详解】对于A，当时，由可得；当时，，

例如当，时，，故选项A不正确；

对于B，当时，，否则，

例如当，时，；当，时，，故选项B不正确；

对于C，由，有，∴，故选项C项正确；

对于D，当时，；当时，，

例如当，时，，故选项D不正确.

故选：C.

5．若，且，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解，，再求解交集即可.

【详解】由，可得或；由，可得．

综上，的取值范围是．

故选：B.

6．若，则一元二次方程有整数根的充要条件是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】由方程可得，作出函数的图象，结合即可求解.

【详解】由，得．

作出函数的图象，

由图可知，，即，又，

所以.

当时，方程有整数解.

综上，是方程有整数解的充要条件．

故选;A.

7．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同角的三角函数关系求出，结合诱导公式计算化简即可求解.

【详解】由，得，

则，

得，

所以

故选：A.

8．已知正方形的边长为2，正方形的内切圆上有一动点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示，然后根据三角函数性质可得.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，得，，

因为圆为单位圆，所以设，其中，

则，，

则．

故选：B

9．已知，，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【分析】由诱导公式可得，根据切弦互化可得，结合和两角差的正切公式计算即可求解.

【详解】因为，所以，

因为，

所以．

故选：D.

10．已知，，都是正实数，且，则当取得最小值时，的最大值为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由题意可得，利用基本不等式的应用可知，再次利用基本不等式计算即可求解.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时，“＝”成立．此时，

所以，当且仅当时，“＝”成立．所以的最大值为．

故选：A.

11．已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】令，得，，然后构造函数，利用导数求最小值可得.

【详解】不妨设，则，，

则．令，

则，记，则

所以在上单调递增，由，可得，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以．

故选：A

12．已知函数，其中，对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法不正确的是（    ）

A．函数的最小正周期小于

B．函数在上一定有零点

C．函数在上不一定会取到最小值

D．的最小值为

【答案】C

【分析】对于A，由可判断；对于B，先求得，再根据，可得，从而可判断；对于D，由题意可得，求解得，从而可判断；对于C，先求得，再根据，，从而可得，

从而可判断.

【详解】对于A，由题意可知，最小正周期，A项正确；

对于B，由A可知，则当，，

又，，所以函数在上一定有零点，B项正确；

对于D，由题意可知，，整理得，

因为，可得，，D项正确；

对于C，当时，，

又因为，，，

所以函数在上一定有最小值点，C项错误．

故选：C

二、填空题

13．已知平面向量与的夹角为，若，，则______．

【答案】1

【分析】利用性质，将向量的模转化为数量积求解即可.

【详解】因为，两边平方得，

又，所以，解得或（舍去）．

故答案为：1

14．已知，为的共轭复数，若，则______．

【答案】/

【分析】设，根据复数相等列方程组求解即可.

【详解】设，则，由题意得，即，

所以，解得，则，

所以．

故答案为：

15．设集合，若，则实数______．

【答案】2

【分析】根据题意，利用集合元素的互异性，分类讨论即可求解.

【详解】当时，，此时，不符合条件；

当时，，此时，符合条件；

若，即，无实根，不符合条件．

所以．

故答案为：2.

16．已知，满足，则______．

【答案】

【分析】根据题意中的等式可得，结合两角差的正切公式化简即可求解.

【详解】∵，

即，

∴，即，

∴．

故答案为：.

三、解答题

17．已知的内角，，的对应边分别为，，，，．

(1)求的值；

(2)求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理可得，由正弦定理可得，即可求解；

（2）根据余弦定理和基本不等式的应用可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.

【详解】（1）因为，

由余弦定理得，

又，所以，

由正弦定理得，

又，所以，所以，

因为,），所以．

（2）因为，

由余弦定理得，

即，当且仅当时，等号成立，

所以的面积，

即的面积的最大值为．

18．已知向量，．

(1)若，求在上的投影向量的模长；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量模和数量积的坐标表示求出、，结合投影向量的概念计算即可求解；

（2）根据平面向量模的坐标表示可得，，利用垂直向量数量积为0，结合数量积的运算律计算即可求解.

【详解】（1）由题意得当时,,

则，，

所以在上的投影向量的模为．

（2）由，，

由，得，

即，解得．

19．已知函数在区间上有最小值2和最大值10．

(1)求，的值；

(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的对称轴与最值性质求解即可；

（2）由（1）可将不等式化简为，再令，根据二次函数的最值求解即可.

【详解】（1）的对称轴为，因为，

所以在区间上最小值为，最大值为，

故解得．

（2）由（1）可得，所以可化为，

化为．令则，

因为，故，记，

故，所以实数的取值范围是．

20．已知函数（，）的图象关于直线对称，且的相邻两个零点间的距离为．

(1)求的值；

(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求函数的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得的最小正周期，由公式求出.根据三角函数的对称轴求出，进而得出函数的解析式；

（2）根据三角函数图象的平移变换可得，利用整体代换法即可求解.

【详解】（1）因为的相邻两个零点间的距离为，

所以的最小正周期，从而．

又的图象关于直线对称，所以．

因为，所以，即，得，

所以，

则；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

所以，

令，解得，

所以的单调递减区间为．

21．已知函数．

(1)求证：曲线在点处的切线恒过定点．

(2)若对任意的，有成立，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求得曲线在处的切线方程为，令，即可求解；

（2）由可得对任意的有，利用导数求出即可求解.

【详解】（1）因为，则，

所以，曲线在处的切线的斜率为，

故切线方程为，即，

变形为，令，解得

所以该直线恒过定点.

（2）由得，即对任意的，有，

令，则，

当，；当，，

所以函数在上是增函数，在上是减函数，

故，

故，即的取值范围为．

22．在非中，已知，其中．

(1)若，，求的值；

(2)是否存在使得为定值？若存在，求的值，并求出该定值为多少；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；，定值为

【分析】（1）由题意求得，，，从而条件转化为，进而；

（2）由（1）得，从而，令，即恒成立，从而得到，即可求解.

【详解】（1）由且，可得，．

同理可得由，可得，

因为，即，

所以，

所以．

（2）由（1）得，

即，

又由

（令其值为），

即恒成立，

可得，解得，，

故存在使得为定值，其定值为．

【点睛】关键点睛：

先由条件得，再计算，在这里关键令，从而转化为恒成立，进而得到，进而求解.