2024届陕西省西安中学高三上学期8月第一次月考数学（文）试题含答案

2024届陕西省西安中学高三上学期8月第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再根据交集，并集，补集的定义及子集的定义逐一判断即可.

【详解】，

则，故AB错误；

，故C正确；

，故集合两者不具有包含关系，故D错误.

故选：C.

2．“”是“”的（    ）条件.

A．必要而不充分 B．充分而不必要

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由对数函数的性质，解不等式，根据充分条件和必要条件的关系，可得答案.

【详解】由，得，因而“”是“”的必要而不充分条件.

故选：A.

3．已知函数，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算作答.

【详解】函数，则，

所以.

故选：C

4．函数是（    ）．

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数

【答案】D

【分析】根据二倍角公式和周期公式，由函数奇偶性定义即可判断出结论.

【详解】利用二倍角公式可得，易知其定义域为；

显然，所以是偶函数，

最小正周期为，因此是周期为的偶函数.

故选：D

5．以下四个命题，其中正确的个数有（    ）

①经验回归直线必过样本中心点；

②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位；

③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；

④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）．

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】D

【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误.

【详解】A选项，线性回归方程必过，故①正确；

B选项，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少0.3个单位，故②错误；

C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为，并不指某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；

D选项，由独立性检验知识可知当，时，可认为99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确.

故选：D

6．已知偶函数在上是增函数，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先比较的大小，再根据单调性比较的大小关系.

【详解】由已知得偶函数在上是减函数，

又，，

，

.

故选：A．

7．已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可.

【详解】    

又因为，，，

故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.

故选：.

8．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的奇偶性，以及根据特殊值，排除选项.

【详解】因为，所以，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；，故排除选项B；，故排除选项D.

故选：C.

9．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系对已知式子化简可求得结果

【详解】由，得，

所以，

因为，所以，，

所以，所以，

故选：C

10．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月.（参考数据：）

A．20 B．27 C．32 D．40

【答案】B

【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.

【详解】依题意得，解得，，

则，

这种垃圾完全分解，即分解率为，即，

所以，所以，

所以.

故选：B

11．已知、是方程的两个根，且，则等于（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.

【详解】方程中，，则，

于是，显然，

又，则有，，

所以.

故选：B

12．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.

【详解】当时，，且，

则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，

所以在上有唯一零点，

因为有3个零点，所以在上有2个零点，

即与的图象有2个交点，

如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，

由图可知，时，与的图象有2个交点，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

二、填空题

13．已知为第三象限角，，则           ．

【答案】

【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方和关系，可得答案.

【详解】由，则，，由，则，

由为第三象限角，，，则.

故答案为：.

14．函数是常数，的部分图象如图所示，则的值是           .

【答案】

【分析】根据给定的图象，依次求出即得函数解析式，再求出函数值作答.

【详解】观察图象知，，函数的周期，则，

由，得，而，于是，，

因此，所以.

故答案为：

15．有一些网络新词，如“内卷”、“躺平”等，现定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”，若函数，，的躺平点分别为，，，则，，的大小关系为          .

【答案】

【分析】根据“躺平点”的定义，对函数求导后构造方程即可解得，利用零点存在定理可求得，易解得，即可得出结论.

【详解】对于来说，，

由“躺平点”定义可知，即可得，解得；

对于，易知，所以可得，即，

令，显然在上单调递增，

易知，，所以可得，

因此；

对于，易得，

所以，解得，

因此可得.

故答案为：

16．已知，且，则下列式子中可能成立的是          .

①；②；③；④.

【答案】①②④

【分析】根据式子的特点可将变形成，根据同构函数特点可构造函数来判断①②的正确性，将变形成，即可构造函数来判断③④是否正确.

【详解】对于①②可构造函数，

则，令可得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

若，，则，即，可得，

所以①可能正确；

若，，则，即，可得，

所以②可能正确；

对于③④可构造函数，

则，显然时，恒成立，

所以在上单调递增，

又，且，所以，即，可得，

所以④正确，③错误；

因此①②④可能正确；

故答案为：①②④

【点睛】方法点睛：对于结构类似的不等式比较大小的问题，经常利用函数同构由导数判断出其单调性，再比较大小.

三、解答题

17．函数，若在点处的切线方程为．

(1)求，的值

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间是，单调递减区间是，．

【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，由切线方程可求，的值；

（2）利用导数求函数单调区间.

【详解】（1），

∴，又，

∴在处的切线方程为，即，

∴，解得．

（2）∵，，

∴，

当或时，；当时，，

故的单调递增区间是，单调递减区间是，．

18．3月14日OpenAI公司宣布正式发布为ChatGPT提供支持的更强大的下一代人工智能技术GPT-4，科技产业的发展迎来新的格局，数据显示，它在各种专业和学术基准上与人类水平相当，优秀到令人难以置信，虽然给各行业带来了不同程度的挑战，但是也孕育了新的发展机遇.下表是某教育公司从2019年至2023年人工智能上的投入情况，其中表示年份代码（2019年用1表示，2020年用2表示，以此类推），表示投入资金（单位：百万元）.

(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（若，则线性相关程度很高）（运算结果保留两位小数）

(2)求关于的线性回归方程，并预测该公司2024年的投入资金.

参考公式与数据：

【答案】(1)答案见解析

(2)，14.3（百万元）

【分析】（1）根据相关系数公式，结合相关系数的性质进行运算求解判断即可；

（2）根据题中所给的公式进行求解即可.

【详解】（1）由题知，，

因为，

，，

所以，

又，

所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）由（1）知，，

所以，，

所以回归方程为，

令，得到，

故预测该公司2024年的投入资金为14.3（百万元）.

19．已知函数，的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

(1)求的值；

(2)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的值域.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据题意利用二倍角公式和辅助角公式可得，又知周期为即可得；

（2）根据三角函数平移规则可得，利用整体代换即可求得其在区间上的值域.

【详解】（1）易知

；

由题意可得，即

又，可得

（2）由（1）知

由平移规则可得，

当时，

由正弦函数单调性可知，

所以

即函数在区间上的值域为

20．已知函数.

(1)解不等式；

(2)已知的最小值为，正实数，满足，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）范围根据x的取值展开，解出不等式即可；

（2）根据绝对值的性质求出的最小值，代入上式利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题知，原不等式等价于

或或，

解得不等式的解集为

（2），

当且仅当时，，

，

，

当且仅当，即时，.

21．如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为．

(1)若射线与相交于异于极点的点，求；

(2)若为上的两点，且，求面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得答案；

（2）设,,，由题结合可得及表达式，后利用二倍角公式可得答案．

【详解】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得:,

即.

（2）设,,,

由题结合,可得,.

则

，

当,即时,最大值为，

所以面积的最大值为.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若时函数有最大值，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性；

（2）由（1）知函数的单调性，进而得到函数最大值，从而得到不等式，构造，求导，得到单调性结合求出实数的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，

由可得，

当时，，

所以在上单调递增，

当时，令，得，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，在上单调递增，在上是单调递减，

所以当时，取得极大值，也是最大值，

即，

因此有，得，

设，

则，

所以在上单调递增，

又，所以，得，

故实数的取值范围是.