2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题23 导数与切线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题23 导数与切线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共39页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）
专题23 导数与切线
一、考向解读



考向：导数中的一个重要考点即是切线，经常以小题或者大题第一问出现，属于导数中为数不多较为简单的考点，必定要掌握！
考点：导数与切线
导师建议：抓住切线的本质是一条直线，利用点斜式考虑问题，主要解决切点和斜率！
二、知识点汇总



1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：（函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率）
＝ ，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特别的 [cf(x)]′＝cf′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1.“在”点处的切线（已知切点）
①斜率＝
②切线
2.“过”点的切线（不知道切点）
①设切点；
②写切线方程
③代点可得：上；
④解得，回代②得切线.
三、题型专项训练


目录一览
①求曲线的斜率
②求在曲线上某一点的切线方程
③求过一点的切线方程
④已知切线（斜率）求参数
⑤两条切线平行、垂直、公切线问题
高考题精选
题型精练，巩固基础
①求曲线的斜率



一、单选题
1．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解．
【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．
故选：B．
2．函数在处的切线的斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】A
【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】函数的导数，
由导数的几何意义，可知:
在处的切线的斜率为.
故选:A.
3．函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，从而可得在点处的切线的倾斜角.
【详解】，
所以.
所以在点处的切线的倾斜角是.
故选:C.
4．函数在处切线的斜率为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
【详解】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故选：.
②求在曲线上某一点的切线方程


5．函数的图象在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数在处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.
【详解】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.
故选：C
6．曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】，故切点为，
，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：A
7．函数的图象在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】，则切线的斜率是，，
则切线方程是，即．
故选：D
8．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.
【详解】因为，所以，，
所以切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，
故选：D.
9．若，则曲线在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，取，解得，则，求得，可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.
【详解】，，
令，解得.
所以，则.
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：.
10．若点，，则、两点间距离的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解.
【详解】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令 ，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行，
直线与之间的距离为的最小值，
故选：B
③求过一点的切线方程


11．已知函数的图像在点的处的切线过点，则（    ）.
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可.
【详解】解：函数的导函数为，
，而，
切线方程为.
因为经过点，所以，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，属于基础题.
12．若曲线的一条切线经过点，则此切线与曲线的切点坐标为（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】先求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，由切线经过点，代入曲线方程中，即可求切点坐标.
【详解】设切点为，∵，∴，∴，
∴，
∴或16，∴切点坐标为或.
故选：D
【点睛】此题考查导数的几何意义，求出函数的导数即可求出切线斜率，注意区分直线过点的切线和在某点处的切线的区别，属于基础题.
13．过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0 B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
【详解】=ln x+1，
设切点为，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．若过原点的直线与曲线相切，则切点的横坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点坐标，求导，求出切线的斜率，用点斜式写出切线方程，把原点坐标代入切线方程，即可求出切点坐标.
【详解】设切点坐标为，由，
切线方程为，
原点坐标代入切线方程，
得，解得.
故选:B
【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
15．过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入方程，即可求得答案.
【详解】由可得，
过坐标原点作曲线的切线，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，又，
所以，即，
所以，即切线有1条.
故选：B.
16．曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合导数的运算法则、导数的几何意义进行求解即可.
【详解】，
因此该曲线在处的切线的斜率为，
所以切线方程为：，
令，得，
令，得，
因此三角形的面积为，
故选：A
④已知切线（斜率）求参数


17．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故选：A．
18．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】求出原函数的导函数，可得函数在处的导数值，再由两条直线平行与斜率的关系列式求解.
【详解】由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故选：D.
19．若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）
A．1 B．0 C．－1 D．e
【答案】B
【分析】求导得到，再利用，求出的值.
【详解】因为，所以，故
又，所以．
故选：B
20．已知曲线在点处的切线方程为, 则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式
,
当时,,
,即.
满足方程,
即,
.
故选:A.
21．若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（    ）
A．1，1 B．，1 C．1， D．，
【答案】A
【分析】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.
【详解】解：因为，所以
曲线在点处的切线的斜率为1，
，又切点在切线上，
．故选：A．
22．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．故选：D．
⑤两条切线平行、垂直、公切线问题


23．曲线与曲线的公切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图象，从而确定正确选项.
【详解】画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.
故选：A

24．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】根据导数得出函数与抛物线在点处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.
【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，
，则，则在点处的切线的斜率为，
函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，
则，即，
故选：C.
25．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解
【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．
故选：B
26．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，
设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，
所以，
故，所以，
所以，
因为，故，
设，
则，令
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以实数a的最大值为e，
故选：A.
⑥多选题与填空题


二、多选题
27．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点
【详解】切线的斜率，
设切点为，则，
又，
所以，
所以或，
所以切点坐标为或．
故选：AB．
28．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.
【详解】因为，所以，
由题意得直线的斜率，
即，解得或
故选:AD.
29．已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将代入，解方程计算出切点坐标，进而得出切线方程．
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率为
切线方程为
曲线过点，代入得
可化简为，即，解得或
则曲线过点的切线方程为或
故选：BD
30．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
31．已知函数，则（    ）
A．在处的切线为轴 B．是上的减函数
C．为的极值点 D．最小值为0
【答案】ACD
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.
【详解】由题意知，故，
故在处的切线的斜率为，而，
故在处的切线方程为，即，
所以在处的切线为轴，A正确；
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，B错误；
由此可得为的极小值点，C正确；
由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，
最小值为，D正确，
故选：
32．已知函数，则（    ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
33．函数，下列说法正确的是（　　）
A．存在实数，使得直线与相切也与相切
B．存在实数，使得直线与相切也与相切
C．函数在区间上单调
D．函数在区间上有极大值，无极小值
【答案】ABC
【分析】设切点分别为，根据导数的几何意义列出方程，化简得，解得或，得到公切线的斜率为或，得出切线方程可判定A、B正确；令，求得，令，利用导数求得所以单调递增，得到单调递增，结合，得出在区间上单调递增，可判定C、D错误.
【详解】设直线分别与与分别相切于点，
则且，
所以且，
化简得，解得或，
当时，可得，即切线的斜率为，且，即切点坐标为，
此时切线的方程为；
当时，可得，即切线的斜率为，且，
即切点坐标为，此时切线的方程为，即，
故公切线方程为或，所以选项A、B正确；
令，可得，
令，可得，
所以单调递增，即单调递增，
又由，因为，所以，
即时，，所以在区间上单调递增，
所以C正确；
由C知，函数单调递增，所以函数无极值，所以D错误.
故选：ABC.
34．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.
【详解】由题意可得，，
因为在直线l上，当为的切点时，
则，所以直线l的方程为，
又直线l与相切，
所以满足，得；
当不是的切点时，
设切点为，
则，
所以，得，
所以，所以直线的方程为.
由，得，
由题意得，所以.
综上得或.
故选:AB
三、填空题
35．曲线在点处的切线斜率为______.
【答案】0
【分析】求出点的导数,即该点处切线斜率.
【详解】解:由题知,
所以,所以,
故在点处的切线斜率为0.
故答案为:0
36．曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，
整理得，
故答案为：
37．由线在处的切线方程是__________.
【答案】
【分析】首先求导得，求出切点为，切线斜率为，则得到切线方程.
【详解】时,,则切点为,,
故切线斜率，
所以切线方程:，化简得.
故答案为：.
38．函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
【详解】因为，所以，
所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
故答案为：1
39．若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝______．
【答案】-1
【分析】先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.
【详解】由题可知，则．
又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得．
故答案为：-1.
40．过点作曲线的切线，则切线方程是_________.
【答案】
【分析】确定点不在曲线上，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，求得切点坐标，即可求得答案.
【详解】由题意可知，当时，，故点不在曲线上，
由可得，
过点作曲线的切线，设切点为，
则切线斜率为，则切线方程为，
将坐标代入得：，
即，即，则
故切线方程是，即，
故答案为：
41．已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________.
【答案】
【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出.
【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，.
因为，所以该公切线的方程为
同理可得，该公切线的方程也可以表示为
因为该公切线过原点，所以，解得.
故答案为：
42．曲线与的公共切线的条数为________．
【答案】2
【分析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则
，则公切线条数为零点个数.
【详解】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：
，则，
注意到，，则由，可得
.
则公切线条数为方程的根的个数，
即函数的零点个数.
，令，则，
得在上单调递增.因，
则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，
故，
又注意到，
，则，
使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.
本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题有范围，故选择消掉，构造与有关的方程与函数.
四、高考真题精选


一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
2．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
二、多选题
4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
6．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
7．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
8．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
9．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
五、题型精练，巩固基础


一、单选题
1．（2022·河北·统考模拟预测）曲线在处的切线斜率为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】即求曲线在(0,f(0))处的导数.
【详解】，.
故选：B.
2．（2022·江西九江·统考二模）曲线在处的切线倾斜角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出的值，即可求得切线的倾斜角.
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则，因为，因此，.
故选：B.
3．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切点处的切线方程的求解方法求出切线方程，并求出横纵截距即可求解.
【详解】∵，
∴，∴．
∵，
∴切线方程为，
可化为．
令，得；令，得．
∴，
解得．
故选:B．
4．（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求得切线的方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，则，即切线的斜率为，
又由时，求得，即切点坐标为，
所以切线方程为，即，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离.
故选：D．
5．（2022·陕西安康·统考一模）已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的导数，再赋值法求出，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.
【详解】因为，所以，解得，
所以，
即切点
所以切线方程为：，即.
故选：A.
6．（2018·河南·统考一模）与曲线相切于处的切线方程是（其中是自然对数的底）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数，把代入导函数，可求出切线的斜率，根据的坐标和直线的点斜式方程可得切线方程．
【详解】由可得，
切线斜率，
故切线方程是，即．故选B．
【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
7．（2022·河南洛阳·统考三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（    ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
8．（2021·四川成都·校考二模）已知函数的图象在处的切线斜率为，则该切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到，从而得到切点为，再利用点斜式求切线方程即可.
【详解】由题可知，，所以，
故，所以切点，
所以切线方程为，
即.
故选：D
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.
9．（2020·河南·校联考模拟预测）过原点引的切线，若切线斜率为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求导数，由，故原点不可能是切点，再设出切点坐标，根据曲线在切点处的导数值等于切线斜率，求出.
【详解】，又，故原点不可能是切点，设切点坐标为，
则，，
又.
故选：D.
【点睛】本题考查了过某点处的切线问题，利用导数的几何意义：曲线在切点处的导数值等于切线斜率解决问题，属于基础题.
10．（2022·河南·校联考一模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义和垂直关系可得，解方程即可.
【详解】令，则，
在点处的切线与垂直，，解得：.
故选：A.
11．（2021·西藏拉萨·统考一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用导数求解切线斜率，根据切线与直线平行，可求得的值.
【详解】解：，
又切线与直线平行
，得．
故选：D.
12．（2021·安徽六安·安徽省舒城中学校考三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为，根据，得到，再由，即可求出，从而得解；
【详解】解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故选：A
13．（2021·云南·曲靖一中校考模拟预测）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】，，，，，
又为与公共点，，，解得：，
.
故选：D.

二、多选题
14．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由题设求得y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，根据导数的几何意义求切线斜率并写出切线方程，由直线间的距离公式求参数，即可知直线的方程.
【详解】由题设，y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x=0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b，则，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
故选：AB
15．（2021·山东济南·统考一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（    ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【分析】A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
16．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知是的导函数，且，则（    ）
A． B．
C．的图象在处的切线的斜率为0 D．在上的最小值为1
【答案】BC
【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式，
对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案.
【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误．
故选：BC．
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.
【详解】设切点为，
由，
得，
则过切点的切线方程为：，
把代入，得，
即，
令，
则，
则当时，，
当时，，
的增区间为与，减区间为，
做出草图如下：

因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或，
则或，
故选：AC.
三、填空题
18．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解
【详解】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即.
故答案为：
19．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线过点的一条切线方程__________．
【答案】或（写出其中的一个答案即可）
【分析】首先判断点在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.
【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故答案为：或（写出其中的一个答案即可）
20．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知曲线在处的切线的斜率为，则______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，当时，，
因为曲线在点处的切线的斜率为，
所以，解得，
故答案为：
21．（2022·河南·校联考模拟预测）已知与的图象有一条公切线，则c=______.
【答案】
【分析】求导，得到公切线的斜率，从而得到切点求解.
【详解】因为,，
所以，，
所以公切线的斜率为2，与的图象相切于点，与的图象相切于点，
故，即.
故选：