2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题22 抛物线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份2024年高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题22 抛物线【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共52页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）
专题22 抛物线
一、考向解读



考向：高考中抛物线的考查主要是它的标准方程和定义等。基础知识点是抛物线的定义、方程与性质，其中对称性的考查一般体现在小压轴中。标准方程的考查主要是解答题第一问，一般结合直线或者圆，要重点掌握好！
考点：抛物线的标准方程和性质。
导师建议：重视抛物线的定义（考的很多！！重点掌握），在选择填空中往往作为隐含条件！
二、知识点汇总



抛物线的方程与性质

图形








标准方程








定义
与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)
离心率
顶点（0，0）
对称轴
轴 或 轴
范围




焦点




准线方程




焦半径





通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长
公式

参数的几何意义
参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔

三、题型专项训练


目录一览
①抛物线的定义
②抛物线的标准方程
③抛物线的性质
④多选题与填空题
高考题及模拟题精选
题型精练，巩固基础
①抛物线的定义



一、单选题
1．若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质即可求解.
【详解】到其准线的距离为，故抛物线方程为，
故选：A
2．抛物线的焦点为,抛物线上一点在其对称轴的上方,若,则点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设出点坐标,根据抛物线定义列出等式,即可得点坐标.
【详解】解:由题设点的坐标为,
根据抛物线的定义知,所以
代入抛物线中可得,故点的坐标为.
故选:C
3．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用抛物线的定义即可求解.
【详解】依题意知，焦点，
由定义知：，所以，所以．
故选：C.
4．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；
【详解】解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C
5．已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（    ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答.
【详解】依题意，抛物线：的焦点，准线方程为，
显然有，所以.
故选：D
6．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.
【详解】由，可得其焦点，准线方程为，
因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，
则，解得，
故选：C.
7．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.
【详解】由题意可知，，所以.
因为抛物线的通径长，
所以轴，所以
故选：D.
8．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点P的坐标为，，根据抛物线的定义有，故的最小值为．
故选：B
9．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据点在抛物线：上,可求得，可得准线方程，取，则即可得到.
【详解】因为点在抛物线：上，
所以，所以，所以，准线为：

取，则，
当且仅当三点共线时取得等号.故选：D.
10．F为抛物线C:的焦点,点A在C上,点,若,则的面积为（    ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出焦点的坐标,根据两点间距离公式求得,即的长度,根据抛物线定义可求得点坐标,进而可求出面积.
【详解】解:因为抛物线C:,所以,准线为:
因为,所以,设,根据抛物线定义可知:,解得,
所以,所以.
故选:B
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，，则（    ）
A．30° B．60° C．45° D．90°
【答案】B
【分析】由结合抛物线性质可得，利用抛物线定义可得为正三角形，即可得出答案．
【详解】如图，设准线l与x轴交于点M，

则由抛物线可知|，又，故，，
又由抛物线定义，可得为正三角形，故．
故选：B
12．已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段的中点到准线的距离等于（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求出抛物线准线方程，再根据焦半径求出段AB中点的横坐标，最后即可求出答案.
【详解】抛物线，F为其焦点，
，准线为，
设，，
所以，线段AB中点的横坐标为3，即线段的中点到y轴的距离为3，
所以线段的中点到准线的距离等于4.
故选：C.
13．已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设斜率为2的直线方程为，与抛物线进行联立可得，设，，所以，接着利用抛物线的定义即可求解
【详解】由抛物线：可得焦点，准线为，
设斜率为2的直线方程为，
所以消去得，
，解得，
设，，所以，
利用抛物线的定义可得，即，解得，
所以的方程为
故选：C


②抛物线的标准方程


14．已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的焦点坐标，确定开口方向和的值，即可得到抛物线的标准方程.
【详解】因为抛物线的焦点为在y轴上，
令x2=2py(p>0)且，得，所以抛物线的标准方程为.
故选：D
15．已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义和方程求解.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，
所以解得，所以此抛物线的方程为.
故选：B.
16．已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决.
【详解】由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，，即，
设拋物线的标准方程为，所以拋物线的标准方程为，
故选：D
17．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故选：A.
18．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ）

A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的估值，从而得解.
【详解】依题意知，抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线方程为，
令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C.
19．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，则此时欲经过桥洞的一艘宽12的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为时的纵坐标即可求解.
【详解】根据题意画出抛物线如下图所示：

设宽度为18时与抛物线的交点分别为，当宽度为12时与抛物线的交点分别为，
当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，
所以由抛物线的性质可知，则抛物线方程为，则，
所以当宽度为12时，设，代入抛物线方程得，解得，
所以直线与直线的距离，
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过，
故选：B
20．已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一：由抛物线所过点可求得，进而得到抛物线方程和焦点，将直线方程与抛物线方程联立可求得，利用抛物线的焦点弦长公式可求得结果；
解法二：由抛物线所过点可求得，利用二级结论可求得，代入抛物线的焦点弦长公式可求得结果.
【详解】解法一：抛物线过点，，解得：，，，
直线，即，
由得：，解得：或，，
；
解法二：抛物线过点，，解得：，
，，.
故选：D.
21．已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ）
A．4 B．8 C．0 D．
【答案】C
【分析】法一：先由抛物线的准线方程求得抛物线的方程，再直接利用特殊直线法求得的坐标，从而得解；
法二：联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】法一：
因为抛物线的准线为，所以，即，
所以抛物线的方程为，
因为直线过，
所以可取直线为代入抛物线方程，计算得，，
所以；
法二：
依题意，直线的斜率必然存在，设直线为，，，
联立，消去，得，
此时，所以，则，
所以.
故选：C．
③抛物线的性质


22．对抛物线，下列描述正确的是（    ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
23．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
【答案】D
【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.
【详解】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．
故选：D．
【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.
24．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】B
【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.
【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
25．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．
故选：C．
26．已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（    ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
④多选题与填空题


二、多选题
27．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ）
A．(3，2) B．(3，－2)
C．(－3，2) D．(－3，－2)
【答案】AB
【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标
【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为，
设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.，把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，∴y＝±.
∴点P的坐标为(3，±).
故选：AB.
28．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果.
【详解】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上；
对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上；
对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上；
故选：AB.
29．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，

过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
30．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（    ）

A． B．
C．点P的坐标为 D．点P的坐标为
【答案】BD
【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.
【详解】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为，
设抛物线C的准线与x轴的交点为Q，
在中，则，，
可得，解得，故A错误，B正确；
∵，则点P的横坐标为，且点P在第一象限，
故点P的坐标为，故C错误，D正确．
故选：BD.
31．已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．的最小值为4 D．的最小值为9
【答案】CD
【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.
【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知，故A错误，
对于B,当PF⊥x轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B错误，
对于C,设，则，由于,所以，故的最小值为4，故C正确，
对于D，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于，
则，当，，三点共线时等号成立，
故D正确；
故选：CD

32．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，求出的范围，即可得出答案.
【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.
故选:BD．
33．已知抛物线的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】过作抛物线的准线的垂线，结合抛物线定义可得为正三角形，从而可求出的长度即为的值即可判断A，再根据即可确定为中点即可判断B，再利用抛物线的定义可判断C，D.
【详解】
如图所示，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足为，
抛物线的准线交轴于点，则，
由于直线的斜率为，则倾斜角为，
因为轴，所以，
由抛物线的定义可知,所以是等边三角形，
所以,
则，所以，解得，A正确；
因为，又，所以为中点，则，B正确；
所以,,所以，C错误；
因为D错误，
故选:AB
34．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ）
A．抛物线C的准线方程为
B．直线与C相切
C．若，则的最小值为4
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】ABD
【分析】确定，，设，计算A正确，联立方程得到B正确，，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案.
【详解】抛物线C：，即，，，设，
对选项A：抛物线C的准线方程为，正确；
对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；
对选项C：，时取等号，错误；
对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确.

故选：ABD
三、填空题
35．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则 ______．
【答案】4
【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出.
【详解】因为点为抛物线上一点，
所以，解得，所以焦点，
所以.
故答案为：4.
36．已知抛物线的焦点在直线上，则______.
【答案】6
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线的焦点为；焦点在直线上

故答案为：0
37．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m.

【答案】3.8
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：

则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
38．已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________.
【答案】
【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.
【详解】设轴交准线于，过作准线的垂线，垂足为，因为为的中点，且，
则由抛物线的定义可得，
在中，，所以，

故答案为：
39．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足，P为抛物线准线上任一点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】设A(x0，y0)(x0>0)，根据抛物线的定义，由|AF|＝y0＋，可得，作出关于直线对称的点为，根据可求得|PA|＋|PF|的最小值；
【详解】由x2＝4y，知p＝2，则焦点F(0,1)，准线y＝－1.
依题意，设A(x0,y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋，即，则y0＝2－1＝1，
∴，AF⊥y轴，如图：设关于直线对称的点为，则，

则，当且仅当的坐标为时等号成立.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用关于直线对称的点为求|PA|＋|PF|的最小值是解题关键.
40．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到轴的距离为__________.
【答案】##
【分析】由题意求得直线，得出两点的横坐标关系为：，再由抛物线的定义可得结果.
【详解】易知：抛物线的焦点且准线，
如图所示：设中点为过分别向准线作垂线，垂足分别为，设与y轴交于D，
∴直线，与抛物线方程联立可得,，
由梯形中位线可知：，则.
故答案为：

41．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为______.
【答案】
【分析】作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别为， ，利用梯形的中位线定理表示出，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值.
【详解】如图示：设AB的中点为M，分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，

设， ，则， ，
MN为梯形ACDB的中位线，则 ，
由AF⊥BF．可得 ，故，
因为 当且仅当a=b时取等号，
故，
故答案为：.
42．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
四、高考真题及模拟题精选


一、单选题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.
3．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，所以.
故选：B
4．（2020年北京市高考数学试卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
5．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
6．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率.
故选：A.
二、多选题
7．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
8．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.

三、填空题
9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
五、题型精练，巩固基础


一、单选题
1．（江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（文）试题）抛物线的焦点到准线的距离为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，
故选：C.
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
3．（四川省凉山州2023届高三下学期二诊文科数学试题）已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值.
【详解】
因为抛物线方程为，所以，
所以焦点，且抛物线准线方程为.
注意到的周长为，
因为，，所以,
所以.
因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于，
则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可，
由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时，
点到准线的距离加长度之和最小，
最小值为，
所以周长的最小值为.
故选：C.
4．（陕西省商洛市2023届高三下学期一模文科数学试题）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.
【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.
故选：D
5．（陕西省安康市2022-2023学年高二下学期开学摸底考试文科数学试题）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（    ）
A． B．6 C． D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线定义及题意求出，得出点A的坐标即可求解.
【详解】由已知及抛物线的定义可得，解得，
∴抛物线方程为，
，即，代入抛物线方程可得，
∴，.
故选：C
6．（贵州省黔东南州2023届高三下学期第一次适应性考试数学（文）试题）已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆的性质可得，设，结合两点距离公式和二次函数性质求的最小值，可得结论.
【详解】圆的圆心的坐标为，半径，
因为是圆上一点，
所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
因为是抛物线上一动点，
设点的坐标为，则
，
当时，取最小值，最小值为，
所以，
当且仅当点的坐标为，且点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.

7．（山西省晋中市2023届二模数学试题（B卷））设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题可知，，抛物线焦点F为，准线l为，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，

由题知，由抛物线的定义可知，
因为，所以是正三角形，则在中，因为，
所以，所以．
故选：D
8．（湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷（一））已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用圆的弦长及勾股定理即可求解
【详解】由题意可知，如图所示，

在抛物线上，则
易知，，由，
因为被直线截得的弦长为，则，
由，于是在中，

由解得：，所以．
故选：C.
9．（新疆维吾尔自治区普通高考2023届高三第一次适应性检测数学（理）试题）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.
【详解】
根据题意可知
如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作于点D、C、G，
DG与轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：
.
因为GE为梯形ABCD的中位线，所以
所以线段的中点到轴的距离.
故选：B
10．（辽宁省辽阳市2022届高考二模数学试题）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，位置特征及的几何意义即可得到答案
【详解】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为
故选：B
11．（山西省临汾市2023届高三下学期第一次高考考前适应性训练数学试题）抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义以及方程求解.
【详解】由题可知，抛物线开口向上，设方程为，
设抛物线的焦点为，则准线为，
所以解得，所以方程为，
故选:B.
12．（北京市平谷区2023届高三下学期3月质量监控数学试题）已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长.
【详解】抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得：.
则，此时，则.
故选：D
13．（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】由题意建立平面直角坐标系，求得抛物线标准方程，即可求得顶点到焦点的距离.
【详解】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，

则设抛物线的方程为，
由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，
即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.
故选：A.
14．（2023届普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷数学试题（一））已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一：由抛物线所过点可求得，进而得到抛物线方程和焦点，将直线方程与抛物线方程联立可求得，利用抛物线的焦点弦长公式可求得结果；
解法二：由抛物线所过点可求得，利用二级结论可求得，代入抛物线的焦点弦长公式可求得结果.
【详解】解法一：抛物线过点，，解得：，，，
直线，即，
由得：，解得：或，，
；
解法二：抛物线过点，，解得：，
，，.
故选：D.
15．（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考文科数学试题）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得A点坐标代入抛物线方程解得，得到焦点坐标和抛物线方程，直线与抛物线联立方程组利用弦长公式计算弦长
【详解】设，过A向x轴作垂线，垂足为，如图所示

由，，直线倾斜角为，则有，可得，，
代入抛物线方程有，∴，（舍去），
则抛物线方程为．
则有，所以直线方程为，
代入抛物线方程得，即，∴，
根据抛物线焦点弦长公式，得．
故选：B．
16．（2022年普通高等学校招生全国统一考试临考押题密卷（A）理科数学试题）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则

即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，
故选：B.
17．（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学试题（三））已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，
在圆D中，有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.
经检验，时，符合题意.
故实数p的值为.
故选：A.

18．（河南省安阳市重点高中2022届高三模拟调研理文数学试题）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
二、多选题
19．（吉林省梅河口市第五中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设，根据抛物线的定义求出，再代入抛物线方程求出，即可求出点坐标，从而求出直线方程.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为，设，
因为，所以，解得，所以，解得，
所以或，则或，
所以直线的方程为或，即或；
故选：BD
20．（安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）
A．抛物线的准线方程为
B．当，则直线的倾斜角为
C．若，则点到轴的距离为8
D．
【答案】AD
【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D, .
【详解】对于A，易知，从而准线方程为，故A正确；
对于B，如图分别过
两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点.
由于，不妨设，则，
由抛物线的定义易知：，，
在直角中，，
此时的倾斜角为，
根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故B错误；
对于C，
点，
由抛物线的定义知，，
所以有，
所以到轴距离，故C错误；
对于D，由抛物线定义知，
所以，
当且仅当，即时取得等号，故D正确；

故选:AD.
21．（2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学试题（二））如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题知，，设直线为，联立方程，消去得，，然后根据直线与抛物线位置关系，焦点弦性质，韦达定理，求导逐个计算即可.
【详解】由题知，，
设直线为，
联立方程，
消去得，
所以，
由抛物线的定义知，
因为，
所以，故A错误；
又
所以，故B正确；
又，
由上述知，当时等号成立，
所以，故C正确；
又，
由上述知，
所以，
所以，其中，
令，
所以，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以，故D错误；
故选：BC
22．（浙江省浙里卷天下2022-2023学年高三上学期10月测试数学试题）已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的中点到轴的距离为4
D．
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的定义可分析A,B选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式可分析C,D选项.
【详解】因为点在抛物线上，
所以解得，所以抛物线方程为，
所以准线方程为，所以A正确;
由抛物线的定义得
由,所以.所以B正确;
设，
联立整理得，
由韦达定理得，
所以，解得，
，所以C错误;
,
由抛物线定义知
，
所以,
当且仅当时取得等号，所以D正确.
故选: ABD.
23．（湖南省张家界市2023届高三下学期3月高考模拟数学试题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
【答案】BC
【分析】对于A项，方法一：运用韦达定理及抛物线定义表示、代入解方程即可；方法二：运用求解即可；对于B项，运用导数几何意义分别求得、，将的值代入计算即可；对于C项，运用韦达定理及抛物线弦长公式求得、及的值，进而求出点M坐标，运用两点间距离公式求得即可；对于D项，方法一：将中的斜率k换成可求得，进而求得的值；方法二：运用抛物线焦点弦长公式可得，进而求得的值.
【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点的直线l的方程为，，设，，
联立方程组消去x整理得，可得.
因为，所以则，解得，所以抛物线，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
方法二：∵，∴，，
又∵，∴，解得：，
所以抛物线E：，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
对于B项，设，，抛物线，，，
易得，，所以，
所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；
对于C项，由A项知，抛物线E：，则直线l的方程为，，设，，
，
所以，，
又因为，所以，，，
所以，解得：，
所以，所以，
所以，，即：，
所以，故C项正确；
对于D项，方法一：由C项知，，，
又因为直线l垂直于直线m ，
所以，
所以.故D项错误.
方法二：由题意知.设直线的倾斜角为，由，，
易得直线的方程为，，，
根据焦点弦长公式可得，
所以.故D项错误.
故选：BC.
24．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第一次高考模拟考试数学试题）已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（    ）
A．若点，则的最小值为4
B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2
【答案】AD
【分析】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为.由抛物线定义，，据此可得最小值；
B选项，过点B且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在的直线；
C选项，设，由及D，E两点在抛物线上可得，
后可得ODE的周长；
D选项，设，则，由基本不等式可得取最大值时，，后可得GFH的面积.
【详解】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为.则由抛物线定义，有.则，则当三点共线时，有最小值4.故A正确；
B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，则.令或
，则直线或为抛物线切线.综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B错误；
C选项，设，因三角形ODE为正三角形，
则，又，
则.
因，则.又由图可得.
则，则.
得ODE的周长为.故C错误；
D选项，设，则
，当取最大值时，
.取，则此时GFH的面积为.
故D正确.
故选：AD


三、填空题
25．（陕西省西安市鄠邑区2023届高三下学期第一次质量检测理科数学试题）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.
【答案】2或18
【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可.
【详解】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：，
∴由抛物线的定义知，，
∴点A的横坐标为，则，
又∵点A在抛物线上，
∴，解得：或.
故答案为：2或18.
26．（宁夏银川一中、云南省昆明市第一中学2023届高三联合考试一模数学（理）试题）抛物线：的准线截圆所得的弦长为_________.
【答案】
【分析】先求出圆心到准线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可.
【详解】抛物线：的准线为，
圆的圆心为，半径，
圆心到准线的距离，
所以所求弦长为.
故答案为：.
27．（内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题）抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
【答案】##7.5
【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积.
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为，
设，由题意可得，则，解得n＝3，
将代入抛物线方程可得，解得，即，
则，所以的面积.
故答案为：．

28．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一）数学试题）抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则______.
【答案】5
【分析】根据题意结合抛物线的定义可求得，再根据垂直关系求得，由直线方程求得即可得结果.
【详解】由题意可得：抛物线C：的焦点为，准线，
不妨设点，则，即，
可得，即，故，
则直线的斜率，
∵，则直线的斜率，
∴直线的方程，
令，解得，即，
故.
故答案为：5.
29．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（理）试题）设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
【分析】由题知，进而根据计算即可.
【详解】解：如图，由题知，将代入方程得，故
所以，，
所以，
因为，整理得，解得（舍），
所以，抛物线，准线方程为：
故答案为：

30．（福建省漳州市2023届高三第二次质量检测数学试题）已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________．
【答案】
【分析】首先得到圆心的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点到直线的距离，即可得到点到直线的距离与之和为，再数形结合得到的最小值.
【详解】解：因为圆，所以，半径，
抛物线的焦点，准线为直线，
则点到直线的距离，
所以点到直线的距离与之和为，
所以当、、、四点共线时，取得最小值，

其最小值为.
故答案为：