广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第二课时函数的最大小值训练提升新人教版选择性必修第二册

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第2课时　函数的最大(小)值
课后·训练提升
基础巩固
1.函数f(x)=eln x-x在区间(0,2e]内的最大值为(　　)
A.1-e B.-1
C.-e D.0
答案:D
解析:函数f(x)=elnx-x,则f'(x)=-1=.
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(e,2e)时,f'(x)0,函数g(x)单调递增,则只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)0时,f(x)0的解集是{x|00,只需2x-x2>0,解得{x|00,解得x0=1.
令f'(x)=0,得x=,
当00,
∴当x=时,f(x)取得极小值,也是最小值.
由题意可知,解得1≤k0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)0时,f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)内无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得极大值且为最大值,
最大值为f=ln+a=-lna+a-1.
因此-lna+a-1>2a-2,即lna+a-10,
∴h(x)在区间[0,2]上单调递增,
∴h(x)≥h(0)=1->0.
令g'(x)>0,解得10,函数f(x)单调递增.
(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:
①当a