2021_2023年高考数学真题分类汇编专题18坐标系与参数方程

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专题18 坐标系与参数方程近三年高考真题1．（2021•乙卷（文））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【解析】（1）的圆心为，半径为1，则的标准方程为，的一个参数方程为为参数）．（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为，因为，，所以这两条切线的极坐标方程为．2．（2022•甲卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．【解析】（1）由为参数），消去参数，可得的普通方程为；（2）由为参数），消去参数，可得的普通方程为．由，得，则曲线的直角坐标方程为．联立，解得或，与交点的直角坐标为，与；联立，解得或，与交点的直角坐标为，与．3．（2022•乙卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）写出的直角坐标方程；（2）若与有公共点，求的取值范围．【解析】（1）由，得，，又，，，即的直角坐标方程为；（2）由曲线的参数方程为为参数）．消去参数，可得，联立，得．，令，可得，当时，，，，的取值范围是，．4．（2023•乙卷（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，．（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点、求的取值范围．【解析】（1）曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为，因为，，，，，，所以的直角坐标方程为，，，，；（2）由于曲线的方程为，，曲线为参数，，转换为直角坐标方程为，；如图所示：由于与圆相交于点，即，当时，直线与曲线没有公共点；当曲线与直线相切时，圆心到直线的距离，解得（负值舍去），由于直线与曲线没有公共点，所以，故直线既与没有公共点，也与没有公共点、实数的取值范围为．5．（2023•甲卷（理））已知，直线为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于，两点，．（1）求的值；（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【解析】（1）已知，直线为参数），与轴，轴正半轴交于，两点，．令，解得，令，解得，由于，所以，故，解得，故或，解得或，由于与轴，轴正半轴，所以直线的倾斜角，，故．（2）由（1）可知，斜率为，且过，所以直线方程为，即，因为，，所以直线极坐标方程为．6．（2023•甲卷（文））已知点，直线为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【解析】（1）直线为参数）化为普通方程为，令，得，令，得，所以，，所以，整理得，因为与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，所以，所以，故；（2）由（1）得，即，因为，，所以极坐标方程为，即．